计算突破：求极限的方法怎么选

本节导读

求极限是高等数学（二）里最常见的运算之一，它的方法分散在主线六节里，分别见本课第 4 节《极限的运算法则与基本求法》（约分、有理化、抓最高次）、第 5 节《两个重要极限》、第 6 节《无穷小与无穷大》（等价无穷小）、第 8 节《导数的概念与几何意义》（导数定义式的变形）、第 12 节《洛必达法则》和第 21 节《牛顿-莱布尼茨公式与变上限积分》（变上限积分求导）。

单独做每一节的题不难，难的是拿到没写明方法的题，不知道先用哪一招，或者一招用到一半卡住。这一节不讲新公式，只做两件事：把这些方法排成「先判型、再选法」的流程，讲清每种方法什么时候不能用；再用例题演示两种方法怎样接力。学完要做到：看出类型、选对方法、卡住会换。

这一块在试卷里怎么考

按本课第 1 节《考试介绍与备考方法》给的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准），试卷有选择题 10 道、填空题 10 道，每道 4 分，解答题 7 至 8 题（各资料写法不一）合计 70 分。极限具体占多少分，各资料说法不一，这里不写死，但三种题型里都有它：选择题、填空题常问一个极限等于多少，或者给出极限的值、反求式子里的参数；解答题要写出判型和每一步变形，按步骤给分。

极限还常藏在别的题里：用定义求导数、判断函数在一点是否连续、求曲线的水平渐近线，最后都要算一个极限。容易丢分的有三处：不判型，见到分式就求导或者直接代入；在加减式里替换等价无穷小；凑重要极限时系数配错、指数没配成倒数。

方法归纳

拿到求极限的题按下面四步走；「出处」是导读里列的主线课节，哪一步忘了就回去看。

步骤	问自己什么	怎么做	出处
① 代入	能不能直接代入？	把 $x_0$x0​ 代进去，分母不为 0 就得到结果	第 4 节
② 判型	是哪一种未定式？	$\frac{0}{0}$00​、$\frac{\infty}{\infty}$∞∞​ 是商的型；$1^{\infty}$1∞、$0\cdot\infty$0⋅∞、$\infty-\infty$∞−∞ 先变形成商；分母趋于 0 而分子不趋于 0 的，极限不存在	第 4、5、12 节
③ 化简	有没有能先处理的因式？	约去零因子、有理化；趋于非零常数的因式先算出极限；乘除因式换成等价无穷小	第 4、6 节
④ 接力	做完一步还是未定式？	换一种方法接着做，回到第 ③ 步再化简，直到能代入	第 12 节

选哪种方法，先看式子由什么函数组成，常见的几类按下表选：

题目的样子	首选方法	这里要小心	出处
$x\to x_0$x→x0​，分子分母是多项式	因式分解，约去 $x-x_0$x−x0​	代入不是 $\frac{0}{0}$00​ 就不必约	第 4 节
含根式之差	分子分母同乘共轭式	只乘一边会改变式子的值	第 4 节
$x\to\infty$x→∞ 的有理分式	抓分子分母的最高次	$x\to x_0$x→x0​ 时不能抓最高次	第 4 节
$x\to+\infty$x→+∞，含 $e^{x}$ex 或 $\ln x$lnx	同除以增长最快的项，或用洛必达法则	指数函数增长最快，对数函数最慢	第 12 节
乘除因式里有 $\sin u$sinu、$\ln(1+u)$ln(1+u)、$e^{u}-1$eu−1、$1-\cos u$1−cosu	换成等价无穷小，或凑 $\frac{\sin u}{u}$usinu​	$u$u 必须趋于 0；加减的各项不能随意单独替换	第 5、6 节

样子特殊的几类各有固定的入口：

题目的样子	首选方法	这里要小心	出处
底数趋于 1、指数趋于无穷	底数写成 $1+u$1+u，指数凑出 $\frac{1}{u}$u1​	指数趋于无穷时，底数不趋于 1 就不是未定式	第 5 节
抽象函数，只给了 $f'(x_0)$f′(x0​)	凑成导数的定义式	分子的增量要与分母一致，缺几倍补几倍	第 8 节
分子或分母含变上限积分	洛必达法则，积分用变上限积分求导公式	上限是 $\varphi(x)$φ(x) 时要乘 $\varphi'(x)$φ′(x)	第 12、21 节
前面都化不动的 $\frac{0}{0}$00​、$\frac{\infty}{\infty}$∞∞​	洛必达法则	导数之比的极限不存在（也不是无穷大）时法则失效	第 12 节

选法的总原则是「先化简、后求导」：能约的先约，能换的乘除因式先换，趋于非零常数的因式先算出极限，剩下化不动的部分再用洛必达法则。

拆因式也是化简。比如已知 $f'(4)=2$f′(4)=2，把 $\frac{f(x)-f(4)}{\sqrt{x}-2}$x​−2f(x)−f(4)​ 拆成 $\frac{f(x)-f(4)}{x-4}\cdot(\sqrt{x}+2)$x−4f(x)−f(4)​⋅(x​+2)，$x\to4$x→4 时前一个因式按导数定义趋于 2，后一个趋于 4，极限是 8。

题型拆解

题型 1：代数式的零比零与无穷比无穷

识别特征：式子里只有多项式、分式和根式，没有三角、对数、指数函数。

分步解法：$x\to x_0$x→x0​ 时代入得 $\frac{0}{0}$00​，就把分子分母因式分解、约去 $x-x_0$x−x0​；有根式之差，乘共轭式去掉根号后再约分。$x\to\infty$x→∞ 时分子分母同除以最高次幂，按次数关系写结果。

常见陷阱：把抓最高次用到 $x\to0$x→0 上。比如 $\lim_{x\to0}\frac{3x^2+x}{2x^2-x}$limx→0​2x2−x3x2+x​，抓最高次会写出 $\frac{3}{2}$23​；可 $x\to0$x→0 时起作用的是最低次项，约去 $x$x 得 $\lim_{x\to0}\frac{3x+1}{2x-1}=-1$limx→0​2x−13x+1​=−1。