考前冲刺与应试策略

本节导读

前面 31 节把高等数学（二）的内容学完了。离考试越近，越不是学新东西的时候，而是把已经学过的东西整理成一张清晰的网，并练习在规定时间里稳定地发挥。这一节做四件事：梳理知识体系，讲清解答题怎么写才不丢步骤分，安排好 150 分钟，回顾最容易失分的地方。

建议把这一节当作考前的检查清单：每读完一部分，就回到对应章节挑两三道题重做一遍，发现不熟的地方立即补上。

知识体系梳理

极限与连续、导数及其应用

下面两张表把前四章的核心内容压缩成一页，考前要能不看资料写出来：

内容	要点
重要极限	$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$limx→0​xsinx​=1；$\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e$limx→∞​(1+x1​)x=e
等价无穷小（$x\to0$x→0）	$\sin x$sinx、$\tan x$tanx、$\ln(1+x)$ln(1+x)、$e^{x}-1$ex−1 都等价于 $x$x；$1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$1−cosx∼2x2​
有理分式（$x\to\infty$x→∞）	看最高次幂：同次取系数比，分子次数低得 0
间断点	第一类（可去、跳跃）左右极限都存在；第二类至少一侧不存在
零点定理	$f(x)$f(x) 在 $[a,b]$[a,b] 上连续且 $f(a)f(b)\lt0$f(a)f(b)<0，则 $(a,b)$(a,b) 内有根

接下来是导数及其应用：

内容	要点
求导法则	$(uv)'=u'v+uv'$(uv)′=u′v+uv′；$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​；复合函数由外向内逐层求导
切线方程	$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)
单调与极值	$f'$f′ 的符号决定单调性；导数符号左正右负为极大，左负右正为极小
最值	比较驻点、导数不存在的点和端点的函数值
凹凸与拐点	看 $f''$f′′ 的符号；拐点要两侧异号，答案写成点的坐标
洛必达法则	先验型（零比零或无穷比无穷），分子分母分别求导

积分、多元函数与概率

积分部分的要点如下：

内容	要点
不定积分	先化简，再凑微分、根式代换或分部积分，结果加 $C$C
分部积分	$\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$∫udv=uv−∫vdu，口诀「反对幂指三」
牛顿-莱布尼茨公式	$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)
定积分换元	换元必换限，不用回代
对称区间	奇函数积分为 0，偶函数积分等于 $2\int_0^a$2∫0a​
面积与体积	$A=\int(\text{上}-\text{下})\,\mathrm{d}x$A=∫(上−下)dx；$V_x=\pi\int[f(x)]^2\,\mathrm{d}x$Vx​=π∫[f(x)]2dx

多元函数微分学与概率论初步的要点如下：

内容	要点
偏导数与全微分	对谁求导，其余当常数；$\mathrm{d}z=z_x\,\mathrm{d}x+z_y\,\mathrm{d}y$dz=zx​dx+zy​dy
二元函数极值	$f_x=f_y=0$fx​=fy​=0 求驻点；$AC-B^2\gt0$AC−B2>0 且 $A\gt0$A>0 为极小，$A\lt0$A<0 为极大
加法公式	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
乘法公式与独立	$P(AB)=P(A)P(B\mid A)$P(AB)=P(A)P(B∣A)；独立时 $P(AB)=P(A)P(B)$P(AB)=P(A)P(B)
二项分布	$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$P(X=k)=Cnk​pk(1−p)n−k；$E(X)=np$E(X)=np，$D(X)=np(1-p)$D(X)=np(1−p)
方差	$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$D(X)=E(X2)−[E(X)]2；$D(aX+b)=a^2D(X)$D(aX+b)=a2D(X)

解答题规范与时间分配

解答题怎么写

解答题按步骤给分，写得清楚比写得多更重要。建议统一用这样的格式：

• 先写依据：用什么公式、什么定理，比如「由洛必达法则」「由牛顿-莱布尼茨公式」。
• 再写关键步骤：每一步变形都写出来，求极限先说明类型，求积分写出换元或分部的选择。
• 最后写结论：不定积分别忘 $+C$+C，应用题写明单位并作答，概率题先设事件再计算。

不会做的题也不要空着，把相关的公式和已经想到的步骤写出来，往往能拿到部分步骤分。

150 分钟怎么分配

先易后难、选择题和填空题先过一遍，是比较稳妥的顺序。下表是一种参考安排：

环节	建议用时	做法
选择题	约 25 分钟	排除法、代入特殊值，卡住的先跳过并做标记
填空题	约 25 分钟	结果化成最简，分数、根式、$\pi$π、$e$e 保留原样
解答题	约 80 分钟	先做自己最有把握的板块，再做难题
检查	15 至 20 分钟	重算有运算的题，核对符号、常数、积分常数