极限的运算法则与基本求法

本节导读

求极限是高等数学（二）里最基础、最常见的运算之一，选择题、填空题、解答题里都会用到。这一节学三件事：用四则运算法则拆开算，遇到「零比零」时先变形，遇到 $x\to\infty$x→∞ 的分式时看最高次幂。

学完这一节，你应该能判断一个极限能不能直接代入，会用因式分解和有理化处理 $\frac{0}{0}$00​ 型，会用最高次幂快速写出有理分式在无穷远处的极限。

极限的四则运算法则

设在同一个变化过程中 $\lim f(x)=A$limf(x)=A，$\lim g(x)=B$limg(x)=B，则有下面的法则：

运算	法则	条件
和差	$\lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$lim[f(x)±g(x)]=A±B	两个极限都存在
常数倍与积	$\lim[c\,f(x)]=cA$lim[cf(x)]=cA，$\lim[f(x)g(x)]=AB$lim[f(x)g(x)]=AB	两个极限都存在
商	$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{A}{B}$limg(x)f(x)​=BA​	都存在且 $B\ne0$B=0

多项式函数、分母不为零的分式函数，求 $x\to x_0$x→x0​ 的极限可以直接把 $x_0$x0​ 代入。例如 $\lim_{x\to2}\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{5}{1}=5$limx→2​x−1x2+1​=15​=5。

如果代入后分子分母都等于 0，得到 $\frac{0}{0}$00​，就不能直接用商的法则，要先把式子变形。这类式子叫未定式，下面两种变形最常用。

零比零型：约去零因子与有理化

因式分解约去零因子

当 $x\to x_0$x→x0​ 时，分子分母都是多项式且都等于 0，说明它们都含有因式 $(x-x_0)$(x−x0​)。把两者因式分解，约去这个因式后再代入。

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x+1}=\frac{4}{3}$$x→2lim​x2−x−2x2−4​=x→2lim​(x−2)(x+1)(x−2)(x+2)​=x→2lim​x+1x+2​=34​

约去 $x-2$x−2 是允许的，因为极限过程中 $x\ne2$x=2。

分子有理化

分子或分母含有根式时，乘以它的共轭式，利用平方差公式 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$(a​−b​)(a​+b​)=a−b 去掉根号。

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}$$x→0lim​x1+x​−1​=x→0lim​x(1+x​+1)(1+x)−1​=x→0lim​1+x​+11​=21​

无穷比无穷型：有理分式在无穷远处的极限

当 $x\to\infty$x→∞ 时，有理分式

$$\frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0}\quad(a_m\ne0,\ b_n\ne0)$$bn​xn+bn−1​xn−1+⋯+b0​am​xm+am−1​xm−1+⋯+a0​​(am​=0, bn​=0)

的极限只由分子分母的最高次数 $m$m、$n$n 决定。方法是分子分母同除以 $x^n$xn，结果见下表：

次数关系	极限
$m=n$m=n	$\dfrac{a_m}{b_n}$bn​am​​（最高次项系数之比）
$m\lt n$m<n	$0$0
$m\gt n$m>n	趋向 $\infty$∞，极限不存在

例如 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+x-1}{2x^2+5}$limx→∞​2x2+53x2+x−1​，分子分母同除以 $x^2$x2 得 $\lim\frac{3+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}=\frac{3}{2}$lim2+x25​3+x1​−x21​​=23​。

另外，如果 $x\to x_0$x→x0​ 时分母趋于 0 而分子趋于不为 0 的数，比如 $\lim_{x\to1}\frac{2}{x-1}$limx→1​x−12​，那么式子趋向无穷大，极限不存在。

易错提醒

• ❌ 分母的极限是 0 时还用商的法则，如 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$limx→2​x−2x2−4​ 直接说成 $\frac{0}{0}=0$00​=0。✅ $\frac{0}{0}$00​ 是未定式，要先因式分解约去 $x-2$x−2，结果是 4。

• ❌ 求 $x\to\infty$x→∞ 的有理分式极限时，只看常数项。✅ 要看最高次幂的项，$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x-3}=2$limx→∞​x−32x+1​=2，不是 $-\frac{1}{3}$−31​。

• ❌ 不管各项的极限是否存在，直接用和差法则。✅ 法则要求每一项的极限都存在，否则要先合并或变形。

• ❌ 有理化时只乘分子，不乘分母，式子的值就变了。✅ 分子分母要同时乘共轭式，才与原式相等。

• ❌ 用 $x\to\infty$x→∞ 的「最高次幂规则」去求 $x\to0$x→0 的极限。✅ 这条规则只适用于 $x\to\infty$x→∞。

例题精讲

例题 1

求 $\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$limx→3​x−3x2−9​。

答案：6

解析：代入得 $\frac{0}{0}$00​，先分解分子 $x^2-9=(x-3)(x+3)$x2−9=(x−3)(x+3)，约去 $x-3$x−3 得 $\lim_{x\to3}(x+3)=6$limx→3​(x+3)=6。

例题 2

求 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{(2x-1)^2}{x^2+3}$limx→∞​x2+3(2x−1)2​。

答案：4

解析：把分子展开，$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$(2x−1)2=4x2−4x+1，分子分母的最高次数都是 2，最高次项系数之比为 $\frac{4}{1}=4$14​=4。也可以同除以 $x^2$x2：$\frac{4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}\to4$1+x23​4−x4​+x21​​→4。

例题 3

求 $\lim_{x\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$limx→4​x−4x​−2​。

答案：$\dfrac{1}{4}$41​

解析：代入得 $\frac{0}{0}$00​。因为 $x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$x−4=(x​−2)(x​+2)，所以 $\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}$x−4x​−2​=x​+21​，令 $x\to4$x→4 得 $\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$2+21​=41​。

本节小结

• 极限的和、差、积、商（分母极限不为 0）可以拆开算，前提是各部分的极限都存在。
• 代入后得 $\frac{0}{0}$00​ 的分式，先用因式分解约去零因子，含根式的用有理化。
• $x\to\infty$x→∞ 时有理分式看最高次幂：次数相等取系数比，分子次数低得 0，分子次数高趋于无穷大。
• 分母趋于 0 而分子不趋于 0 时，极限不存在。
• 每做完一题，把结果代回式子或用一个很大（很小）的数估算一下，检查是否合理。