分部积分法

本节导读

凑微分和根式代换都是把积分「换元」，而 $\int xe^{x}\,\mathrm{d}x$∫xexdx、$\int x\ln x\,\mathrm{d}x$∫xlnxdx 这类被积函数是两种不同类型的函数相乘，换元解决不了，要用分部积分法。它是乘积求导法则的逆用，和换元积分法并列为不定积分的两大方法。

在试卷里，分部积分常出现在不定积分的计算题里，也是定积分计算的重要工具。学完这一节，你应该能正确选取 $u$u 和 $\mathrm{d}v$dv，熟练完成一次分部积分和需要连用两次的情形。

分部积分公式

公式的来源

由乘积求导法则 $(uv)'=u'v+uv'$(uv)′=u′v+uv′，两边积分、移项，得到分部积分公式：

$$\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$$∫udv=uv−∫vdu

它的作用是把左边较难的积分，转化成右边（希望）更容易的积分 $\int v\,\mathrm{d}u$∫vdu。所以关键是选好哪个作 $u$u、哪个作 $\mathrm{d}v$dv：选取后要容易求出 $v$v，并且 $\int v\,\mathrm{d}u$∫vdu 比原来的积分简单。

怎样选 $u$u：「反对幂指三」

把常见函数按下面的顺序排列：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。被积函数是其中两类函数的乘积时，排在前面的选作 $u$u，排在后面的与 $\mathrm{d}x$dx 凑成 $\mathrm{d}v$dv。指数函数和三角函数都排在最后，它们的积分都不变复杂，所以通常拿它们去凑 $\mathrm{d}v$dv。

两类常见题型

幂函数乘指数函数或三角函数

取 $u$u 为幂函数，其余部分凑 $\mathrm{d}v$dv。每分部一次，幂函数的次数降低 1。

$$\int xe^{x}\,\mathrm{d}x=xe^{x}-\int e^{x}\,\mathrm{d}x=(x-1)e^{x}+C$$∫xexdx=xex−∫exdx=(x−1)ex+C $$\int x\cos x\,\mathrm{d}x=x\sin x-\int\sin x\,\mathrm{d}x=x\sin x+\cos x+C$$∫xcosxdx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C

当幂函数是 $x^2$x2 时要连用两次：$\int x^2e^{x}\,\mathrm{d}x=x^2e^{x}-2\int xe^{x}\,\mathrm{d}x=(x^2-2x+2)e^{x}+C$∫x2exdx=x2ex−2∫xexdx=(x2−2x+2)ex+C。

幂函数乘对数函数、反三角函数

这时取 $u$u 为对数函数或反三角函数，因为它们求导后变成代数函数，而它们本身不容易积分。

$$\int x\ln x\,\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$$∫xlnxdx=2x2​lnx−∫2x2​⋅x1​dx=2x2​lnx−4x2​+C

只有一个函数的积分也可以用分部积分，把 $1$1 当作 $\mathrm{d}v$dv 的一部分：

$$\int\ln x\,\mathrm{d}x=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$$∫lnxdx=xlnx−∫x⋅x1​dx=xlnx−x+C

同理，$\int\arctan x\,\mathrm{d}x=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$∫arctanxdx=xarctanx−∫1+x2x​dx=xarctanx−21​ln(1+x2)+C。

还有一种「循环型」，例如 $\int e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x$∫exsinxdx，分部积分两次后会回到原来的积分，把它当作未知数移项解出，结果是 $\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+C$2ex​(sinx−cosx)+C，了解即可。

易错提醒

• ❌ 求 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$∫xlnxdx 时取 $u=x$u=x，$\mathrm{d}v=\ln x\,\mathrm{d}x$dv=lnxdx。✅ 按「反对幂指三」，对数排在幂函数前面，应取 $u=\ln x$u=lnx，$\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$dv=xdx，否则要先求 $\int\ln x\,\mathrm{d}x$∫lnxdx，反而更难。