洛必达法则

本节导读

前面求极限时，遇到 $\frac{0}{0}$00​ 或 $\frac{\infty}{\infty}$∞∞​，只能靠因式分解、有理化或重要极限。洛必达法则给出了一个统一的办法：把分子分母各自求导，再求极限。它是导数最直接的应用之一，在选择题、填空题和解答题里都会用到。

学完这一节，你应该能判断什么时候能用洛必达法则，会连续使用它，并能把 $0\cdot\infty$0⋅∞、$\infty-\infty$∞−∞ 这类未定式化成能用的形式。

洛必达法则

法则的内容

如果当 $x\to x_0$x→x0​（或 $x\to\infty$x→∞）时，$\frac{f(x)}{g(x)}$g(x)f(x)​ 是 $\frac{0}{0}$00​ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$∞∞​ 型未定式，并且分子、分母可导，那么

$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$limg(x)f(x)​=limg′(x)f′(x)​

只要右边的极限存在（或者是无穷大）。注意是分子分母「各自」求导，而不是对整个商求导。

使用步骤

用洛必达法则做题，按下面的顺序走：

• 第一步，先验型：确认是 $\frac{0}{0}$00​ 或 $\frac{\infty}{\infty}$∞∞​，不是的话不能用。
• 第二步，分子分母分别求导，把结果化简（能约分、能用等价无穷小就先做）。
• 第三步，再求极限；如果仍是未定式，可以连续使用，直到不是未定式为止。

例如 $\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-x}{x^2}$limx→0​x2ex−1−x​ 是 $\frac{0}{0}$00​ 型，用一次得 $\lim\frac{e^{x}-1}{2x}$lim2xex−1​，还是 $\frac{0}{0}$00​ 型，再用一次得 $\lim\frac{e^{x}}{2}=\frac{1}{2}$lim2ex​=21​。

两种基本类型的例子

无穷比无穷型

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$limx→+∞​xlnx​ 是 $\frac{\infty}{\infty}$∞∞​ 型，用法则得 $\lim\frac{\frac{1}{x}}{1}=0$lim1x1​​=0。$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^{x}}$limx→+∞​exx2​ 用两次法则得 $\lim\frac{2x}{e^{x}}=\lim\frac{2}{e^{x}}=0$limex2x​=limex2​=0。

把这类结果归纳起来：当 $x\to+\infty$x→+∞ 时，指数函数增长得最快，幂函数其次，对数函数最慢。即

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{a}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0\quad(a\gt0)$$x→+∞lim​xalnx​=0,x→+∞lim​exxn​=0(a>0)

零比零型

$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}$limx→0​x3x−sinx​ 是 $\frac{0}{0}$00​ 型，用一次得 $\lim\frac{1-\cos x}{3x^2}$lim3x21−cosx​，仍是 $\frac{0}{0}$00​ 型；这时可以再用一次法则 $\lim\frac{\sin x}{6x}=\frac{1}{6}$lim6xsinx​=61​，也可以直接用等价无穷小 $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$1−cosx∼2x2​ 得 $\frac{1}{6}$61​。

其他型未定式的化简

$0\cdot\infty$0⋅∞、$\infty-\infty$∞−∞ 这些类型不能直接用法则，要先化成 $\frac{0}{0}$00​ 或 $\frac{\infty}{\infty}$∞∞​：