二元函数与偏导数

本节导读

前面研究的都是一个自变量的函数。现实中，一个量常常由两个因素决定，比如利润同时取决于产量和价格，面积取决于长和宽。这类函数叫二元函数。研究它怎样变化，最直接的办法是固定其中一个变量，只让另一个变量变化，这就是偏导数。

在试卷里，多元函数微分学的内容范围不大，题型也比较集中：求二元函数的定义域、求偏导数（含某点处的偏导数值）、求全微分和二元函数的极值。这一节是后面的基础。学完这一节，你应该能熟练求一阶偏导数。

二元函数的概念与定义域

二元函数

设 $D$D 是 $xy$xy 平面上的一个点集，如果对于 $D$D 内每一点 $(x,y)$(x,y)，按某个法则都有唯一的数 $z$z 与之对应，就说 $z$z 是 $x$x、$y$y 的二元函数，记作 $z=f(x,y)$z=f(x,y)，$D$D 叫定义域。它的图形一般是空间中的一张曲面。

求函数值就是把数代入。例如 $f(x,y)=x^2+2xy$f(x,y)=x2+2xy，则 $f(1,2)=1+2\times1\times2=5$f(1,2)=1+2×1×2=5。

定义域的求法

和一元函数一样，二元函数的定义域是使式子有意义的所有点 $(x,y)$(x,y) 构成的平面区域，分母不为 0，偶次根号下不小于 0，对数的真数大于 0。常见的例子如下：

函数	定义域
$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$z=1−x2−y2​	$x^2+y^2\le1$x2+y2≤1（单位圆及其内部）
$z=\ln(x+y)$z=ln(x+y)	$x+y\gt0$x+y>0（直线 $y=-x$y=−x 上方的半个平面）
$z=\dfrac{1}{x-y}$z=x−y1​	$x\ne y$x=y（去掉直线 $y=x$y=x）
$z=\sqrt{x}+\sqrt{y}$z=x​+y​	$x\ge0$x≥0 且 $y\ge0$y≥0
$z=\arcsin(x+y)$z=arcsin(x+y)	$-1\le x+y\le1$−1≤x+y≤1

偏导数的概念

定义

在 $f(x,y)$f(x,y) 中，让 $y$y 固定在 $y_0$y0​ 不变，它就成了 $x$x 的一元函数。这个一元函数在 $x_0$x0​ 处的导数叫做 $f(x,y)$f(x,y) 在点 $(x_0,y_0)$(x0​,y0​) 处对 $x$x 的偏导数：

$$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$fx​(x0​,y0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​

同样可以定义对 $y$y 的偏导数 $f_y(x_0,y_0)$fy​(x0​,y0​)。偏导数的记号有 $\frac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​、$z_x$zx​、$f_x(x,y)$fx​(x,y) 等，其中 $\frac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​ 是一个整体符号，不能当成分数约分。

几何意义

$f_x(x_0,y_0)$fx​(x0​,y0​) 是曲面 $z=f(x,y)$z=f(x,y) 与平面 $y=y_0$y=y0​ 相交所得曲线，在点 $(x_0,y_0)$(x0​,y0​) 处沿 $x$x 轴方向的切线斜率；$f_y(x_0,y_0)$fy​(x0​,y0​) 则是曲面与平面 $x=x_0$x=x0​ 的交线沿 $y$y 轴方向的切线斜率。

偏导数的计算

基本方法

求 $\frac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​ 时，把 $y$y 当作常数，对 $x$x 用一元函数的求导公式和法则；求 $\frac{\partial z}{\partial y}$∂y∂z​ 时，把 $x$x 当作常数，对 $y$y 求导。口诀是「对谁求导，谁是变量，其余当常数」。

例如 $z=x^2y+3xy^2-y^3$z=x2y+3xy2−y3：求 $z_x$zx​ 时 $y$y 是常数，$z_x=2xy+3y^2$zx​=2xy+3y2（$y^3$y3 求导为 0）；求 $z_y$zy​ 时 $x$x 是常数，$z_y=x^2+6xy-3y^2$zy​=x2+6xy−3y2。下面是几个常用的结果：

$z$z	$z_x$zx​	$z_y$zy​
$x^2y^3$x2y3	$2xy^3$2xy3	$3x^2y^2$3x2y2
$e^{xy}$exy	$ye^{xy}$yexy	$xe^{xy}$xexy
$\ln(x^2+y^2)$ln(x2+y2)	$\dfrac{2x}{x^2+y^2}$x2+y22x​	$\dfrac{2y}{x^2+y^2}$x2+y22y​
$x\sin y$xsiny	$\sin y$siny	$x\cos y$xcosy
$\dfrac{y}{x}$xy​	$-\dfrac{y}{x^2}$−x2y​	$\dfrac{1}{x}$x1​