古典概型与排列组合

本节导读

古典概型是概率论里最基本、最容易上手的一类模型：所有结果有限，并且每个结果出现的可能性相等。这时概率就是「有利结果数除以总结果数」。难点不在概率本身，而在于数「有多少种结果」，这要用到排列组合。

在试卷里，古典概型的题常以选择题、填空题或解答题的第一问出现。学完这一节，你应该能计算排列数、组合数，并能用它们求摸球、抽样检验、排队等问题的概率。

排列与组合

两个计数原理

完成一件事，如果有 $n$n 类不同的办法，每一类各有 $m_1$m1​、$m_2$m2​、$\cdots$⋯、$m_n$mn​ 种，那么共有 $m_1+m_2+\cdots+m_n$m1​+m2​+⋯+mn​ 种办法，这是加法原理（分类，相加）。如果要分 $n$n 个步骤，每一步各有 $m_1$m1​、$m_2$m2​、$\cdots$⋯、$m_n$mn​ 种，那么共有 $m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$m1​×m2​×⋯×mn​ 种办法，这是乘法原理（分步，相乘）。

排列数与组合数

从 $n$n 个不同元素中取出 $m$m 个，按顺序排成一列，叫排列，排列数是

$$A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$Anm​=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=(n−m)!n!​

取出 $m$m 个而不考虑顺序，叫组合，组合数是

$$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!\,(n-m)!}$$Cnm​=m!Anm​​=m!(n−m)!n!​

判断用排列还是组合，就看和顺序有没有关系：有关系用排列，没有关系用组合。组合数有性质 $C_n^m=C_n^{n-m}$Cnm​=Cnn−m​，$C_n^0=1$Cn0​=1，$C_n^1=n$Cn1​=n。例如 $A_5^3=5\times4\times3=60$A53​=5×4×3=60，$C_6^2=\frac{6\times5}{2}=15$C62​=26×5​=15，$C_5^3=C_5^2=10$C53​=C52​=10，$5!=120$5!=120。

古典概型

特征与公式

如果一个随机试验满足两条：样本空间只有有限个样本点；每个样本点出现的可能性相等。这样的概率模型叫古典概型。设样本点总数为 $n$n，事件 $A$A 包含 $m$m 个样本点，则

$$P(A)=\frac{m}{n}$$P(A)=nm​

计算步骤

按下面三步做：

• 第一步，确定样本点总数 $n$n，用排列组合数出来；
• 第二步，数出事件 $A$A 包含的样本点个数 $m$m；
• 第三步，代入公式 $P(A)=\frac{m}{n}$P(A)=nm​。

关键是总数和有利数要用同一种口径：总数按有顺序数，有利数也按有顺序数；总数按组合数，有利数也按组合数。事件的“至少一个”常常用逆事件更方便：$P(A)=1-P(\overline{A})$P(A)=1−P(A)。

古典概率的计算

常见题型举例

掷两颗均匀的骰子，样本点总数是 $6\times6=36$6×6=36，点数之和为 7 的结果有 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 共 6 个，所以概率是 $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$366​=61​。

10 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件。样本点总数是 $C_{10}^2=45$C102​=45。恰有 1 件次品：$C_3^1C_7^1=21$C31​C71​=21 种，概率 $\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$4521​=157​。至少有 1 件次品，用逆事件（2 件都是正品）：$1-\frac{C_7^2}{C_{10}^2}=1-\frac{21}{45}=\frac{8}{15}$1−C102​C72​​=1−4521​=158​。