随机事件与概率的基本性质

本节导读

前面学的是确定性的数学：给定条件，结果就是唯一确定的。概率论研究的是另一类现象：条件相同，每次试验的结果却不一定相同，比如掷一颗骰子出现几点。概率描述的就是这类结果出现的可能性有多大。

在试卷里，概率论初步通常有选择题、填空题，也会有解答题。这一节是后面所有概率计算的语言基础：要会用集合的方法表示事件，会做事件的运算，并熟练使用概率的基本性质和加法公式。

随机事件

基本概念

满足可以在相同条件下重复进行、结果不止一个且事先知道、每次试验前不能肯定出现哪个结果这三点的试验，叫随机试验。试验的每一个可能结果叫样本点，样本点的全体叫样本空间，记作 $\Omega$Ω。样本空间的子集叫随机事件，简称事件，常用大写字母 $A$A、$B$B、$C$C 表示。

每次试验必定发生的事件叫必然事件，就是 $\Omega$Ω；一定不发生的事件叫不可能事件，记作 $\varnothing$∅。例如掷一颗骰子，$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$Ω={1,2,3,4,5,6}；事件 $A=$A=「点数为偶数」$=\{2,4,6\}$={2,4,6}；事件 $B=$B=「点数大于 4」$=\{5,6\}$={5,6}。

事件的关系与运算

关系与运算一览

事件是集合，所以事件的关系和运算就是集合的关系和运算，只是要用概率的语言去理解：

关系或运算	记号	含义
包含	$A\subset B$A⊂B	$A$A 发生时 $B$B 一定发生
和（并）	$A\cup B$A∪B	$A$A、$B$B 至少有一个发生
积（交）	$AB$AB	$A$A、$B$B 同时发生
差	$A-B$A−B	$A$A 发生而 $B$B 不发生，即 $A\overline{B}$AB
互不相容（互斥）	$AB=\varnothing$AB=∅	$A$A、$B$B 不可能同时发生
对立（逆事件）	$\overline{A}$A	$A$A 不发生，$A\cup\overline{A}=\Omega$A∪A=Ω 且 $A\overline{A}=\varnothing$AA=∅

两个事件的运算有德摩根律：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\ \overline{B}$A∪B=A B，$\overline{AB}=\overline{A}\cup\overline{B}$AB=A∪B。口诀是「和的逆等于逆的积，积的逆等于逆的和」。

互斥与对立

互斥只要求不能同时发生，对立还要求二者必有一个发生。所以对立一定互斥，但互斥不一定对立。例如掷骰子，「出现 1 点」与「出现 2 点」互斥，但不对立，因为还可能出现别的点数。

用文字表达事件时，常见的翻译有：「$A$A、$B$B、$C$C 至少有一个发生」是 $A\cup B\cup C$A∪B∪C；「都不发生」是 $\overline{A}\ \overline{B}\ \overline{C}$A B C；「只有 $A$A 发生」是 $A\overline{B}\ \overline{C}$AB C。

概率的基本性质与加法公式

基本性质

概率 $P(A)$P(A) 是描述事件 $A$A 发生的可能性大小的数，具有下面的性质：

性质	内容
有界性	$0\le P(A)\le1$0≤P(A)≤1，$P(\Omega)=1$P(Ω)=1，$P(\varnothing)=0$P(∅)=0
逆事件	$P(\overline{A})=1-P(A)$P(A)=1−P(A)
单调性	若 $A\subset B$A⊂B，则 $P(A)\le P(B)$P(A)≤P(B)，且 $P(B-A)=P(B)-P(A)$P(B−A)=P(B)−P(A)
差事件	$P(A-B)=P(A)-P(AB)$P(A−B)=P(A)−P(AB)

加法公式

对任意两个事件 $A$A、$B$B，有

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

这是因为 $A$A 与 $B$B 重叠的部分被算了两次，要减去一次。特别地，当 $A$A、$B$B 互斥时 $P(AB)=0$P(AB)=0，公式化为 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$P(A∪B)=P(A)+P(B)。