两个重要极限

本节导读

上一节的因式分解和有理化只能处理代数式。遇到含 $\sin x$sinx 的 $\frac{0}{0}$00​ 型，或者形如 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$(1+x1​)x 的幂指型极限，就要用到两个重要极限。它们是求极限的两件基本工具，选择题、填空题里经常出现。

学完这一节，你应该能背出两个重要极限的标准形式，会通过「乘一个、除一个」把式子凑成标准形式，并熟练得出结果。

第一个重要极限

标准形式与推广

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$x→0lim​xsinx​=1

它说的是：当 $x$x 很小时，$\sin x$sinx 与 $x$x 几乎相等。推广形式是：只要 $u$u 是一个趋于 0 的量，就有

$$\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$$u→0lim​usinu​=1

使用时必须满足两条：趋于 0，并且分子 $\sin$sin 里面的式子与分母完全相同。比如 $\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}=1$limx→0​3xsin3x​=1，$\lim_{x\to1}\frac{\sin(x-1)}{x-1}=1$limx→1​x−1sin(x−1)​=1。

常用的推论

由第一个重要极限可以得到下面几个结果，建议直接记住：

极限	结果
$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{x}$limx→0​xsinax​	$a$a
$\lim_{x\to0}\dfrac{\tan ax}{bx}$limx→0​bxtanax​	$\dfrac{a}{b}$ba​（$b\ne0$b=0）
$\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$limx→0​x21−cosx​	$\dfrac{1}{2}$21​
$\lim_{x\to\infty}x\sin\dfrac{a}{x}$limx→∞​xsinxa​	$a$a

最后一个是把 $x\to\infty$x→∞ 换成 $t=\frac{1}{x}\to0$t=x1​→0 得到的；第三个由 $1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$1−cosx=2sin22x​ 推出。

第二个重要极限

标准形式与推广

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e,\qquad \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$x→∞lim​(1+x1​)x=e,x→0lim​(1+x)x1​=e

这里 $e\approx2.71828$e≈2.71828 是自然对数的底。这是「$1$1 的无穷次幂」型：底数趋于 1，指数趋于无穷。推广形式是：括号里「1 加一个趋于 0 的量」，指数恰好是这个量的倒数，结果就是 $e$e。

常用的推论

下面两个结论使用最频繁，其中 $k$k 是常数：

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}=e^{k},\qquad \lim_{x\to0}(1+kx)^{\frac{1}{x}}=e^{k}$$x→∞lim​(1+xk​)x=ek,x→0lim​(1+kx)x1​=ek

例如 $\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}=e^{-1}$limx→∞​(1−x1​)x=e−1，$\lim_{x\to0}(1+3x)^{\frac{1}{x}}=e^{3}$limx→0​(1+3x)x1​=e3。

凑成重要极限的形式

含正弦的零比零型

办法是：保证 $\sin$sin 里的式子和分母相同，缺什么就乘什么、同时除什么。例如

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{3x}=\lim_{x\to0}\frac{5}{3}\cdot\frac{\sin5x}{5x}=\frac{5}{3}$$x→0lim​3xsin5x​=x→0lim​35​⋅5xsin5x​=35​

幂指型

先把底数写成「$1+$1+ 无穷小」，再把指数配成这个无穷小的倒数，多出来的部分留在指数的外面。例如

$$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}=\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{x}=\left[\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}\right]^{\frac{2x}{x-1}}$$(x−1x+1​)x=(1+x−12​)x=[(1+x−12​)2x−1​]x−12x​

$x\to\infty$x→∞ 时，中括号内趋于 $e$e，指数 $\frac{2x}{x-1}$x−12x​ 趋于 2，所以极限是 $e^{2}$e2。

易错提醒

• ❌ 认为 $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1$limx→∞​xsinx​=1。✅ 第一个重要极限要求变量趋于 0。$x\to\infty$x→∞ 时 $\sin x$sinx 有界、$\frac{1}{x}\to0$x1​→0，这个极限是 0。

• ❌ 把 $\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$limx→0​xsin3x​ 写成 1。✅ 分母要凑成 $3x$3x：$\frac{\sin3x}{x}=3\cdot\frac{\sin3x}{3x}\to3$xsin3x​=3⋅3xsin3x​→3。

• ❌ 认为 $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=e$limx→∞​(1+x1​)2x=e。✅ 指数是 $2x$2x，结果是 $e^{2}$e2。

• ❌ 把 $\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}$limx→∞​(1−x1​)x 当成 $1$1（因为底数趋于 1）。✅ 底数趋于 1 而指数趋于无穷，是未定式，结果是 $e^{-1}$e−1。

• ❌ 在 $x\to0$x→0 时套用 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\to e$(1+x1​)x→e。✅ 这个形式只适用于 $x\to\infty$x→∞，$x\to0$x→0 时应是 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$(1+x)x1​。

例题精讲

例题 1

求 $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{3x}$limx→0​3xsin5x​。

答案：$\dfrac{5}{3}$35​

解析：$\frac{\sin5x}{3x}=\frac{5}{3}\cdot\frac{\sin5x}{5x}$3xsin5x​=35​⋅5xsin5x​。当 $x\to0$x→0 时 $5x\to0$5x→0，$\frac{\sin5x}{5x}\to1$5xsin5x​→1，所以极限是 $\frac{5}{3}$35​。

例题 2

求 $\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{3x}$limx→∞​(1+x2​)3x。

答案：$e^{6}$e6

解析：把指数拆成 $3x=\frac{x}{2}\cdot6$3x=2x​⋅6，原式 $=\left[\left(1+\frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^{6}$=[(1+x2​)2x​]6。方括号里的式子趋于 $e$e，所以极限是 $e^{6}$e6。也可直接用推论 $\left(1+\frac{k}{x}\right)^{ax}\to e^{ka}$(1+xk​)ax→eka，$k=2,a=3$k=2,a=3。

例题 3

求 $\lim_{x\to0}(1-2x)^{\frac{1}{x}}$limx→0​(1−2x)x1​。

答案：$e^{-2}$e−2

解析：把 $-2x$−2x 看成趋于 0 的量 $u$u。指数 $\frac{1}{x}=\frac{-2}{u}$x1​=u−2​，所以 $(1-2x)^{\frac{1}{x}}=\left[(1+u)^{\frac{1}{u}}\right]^{-2}\to e^{-2}$(1−2x)x1​=[(1+u)u1​]−2→e−2。

本节小结

• 第一个重要极限：$\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$limu→0​usinu​=1，条件是 $u\to0$u→0 且分子分母的 $u$u 相同。
• 常用推论：$\frac{\sin ax}{x}\to a$xsinax​→a，$\frac{\tan ax}{bx}\to\frac{a}{b}$bxtanax​→ba​，$\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac{1}{2}$x21−cosx​→21​，$x\sin\frac{a}{x}\to a$xsinxa​→a。
• 第二个重要极限：$(1+u)^{\frac{1}{u}}\to e$(1+u)u1​→e（$u\to0$u→0），常用推论 $\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}\to e^{k}$(1+xk​)x→ek。
• 凑形式的方法：缺什么乘什么、同时除什么，多出的部分留在指数外面。
• 使用前先看变量的趋向是不是满足条件，条件不满足时不能套公式。