曲线的凹凸性、拐点与渐近线

本节导读

单调性告诉我们曲线是上升还是下降，凹凸性则描述曲线「弯」的方向；渐近线描述曲线向远处或某个点附近延伸时的走势。把这几样合起来，就能把一个函数的图形大致画出来。

在试卷里，这一节的题型比较固定：求凹凸区间和拐点（填空题、解答题），求渐近线（选择题、填空题）。学完这一节，你应该能按步骤求拐点，并能写出水平、垂直渐近线的方程。

曲线的凹凸性

判别方法

直观地说，曲线在某个区间内位于它每一点切线的上方，曲线是凹的（开口向上，像字母 U）；位于切线的下方，曲线是凸的（开口向下，像倒扣的碗）。用二阶导数判断：

• 在区间 $I$I 内 $f''(x)\gt0$f′′(x)>0，则曲线在 $I$I 内是凹的（开口向上）；
• 在区间 $I$I 内 $f''(x)\lt0$f′′(x)<0，则曲线在 $I$I 内是凸的（开口向下）。

不同教材对「凹」「凸」两个字的叫法不完全一致（有的把 $f''\gt0$f′′>0 叫做下凸），但判断的依据都是 $f''$f′′ 的符号。做题时按所用教材和题目的说法作答，并写清 $f''$f′′ 的符号。

例如 $y=x^2$y=x2 的 $y''=2\gt0$y′′=2>0，在整个定义域上是凹的；$y=\ln x$y=lnx 的 $y''=-\frac{1}{x^2}\lt0$y′′=−x21​<0，在 $(0,+\infty)$(0,+∞) 上是凸的。

拐点

定义与求法

曲线上凹凸性发生改变的点叫拐点。拐点是曲线上的点，要写成坐标 $(x_0,f(x_0))$(x0​,f(x0​))。求拐点的步骤是：

• 第一步，求定义域和 $f''(x)$f′′(x)；
• 第二步，令 $f''(x)=0$f′′(x)=0 求出 $x$x，再找出 $f''(x)$f′′(x) 不存在的点；
• 第三步，检查这些点两侧 $f''$f′′ 的符号：异号才是拐点，同号不是。

注意 $f''(x_0)=0$f′′(x0​)=0 只是拐点的必要条件。例如 $y=x^4$y=x4，$y''=12x^2$y′′=12x2，$x=0$x=0 时 $y''=0$y′′=0，但两侧 $y''$y′′ 都大于 0，所以 $(0,0)$(0,0) 不是拐点。

一个例子

$y=x^3-3x^2+1$y=x3−3x2+1，$y''=6x-6$y′′=6x−6，令 $y''=0$y′′=0 得 $x=1$x=1。$x\lt1$x<1 时 $y''\lt0$y′′<0（凸），$x\gt1$x>1 时 $y''\gt0$y′′>0（凹），符号改变，且 $y(1)=1-3+1=-1$y(1)=1−3+1=−1，所以拐点是 $(1,-1)$(1,−1)。

渐近线

水平渐近线

如果 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=c$limx→+∞​f(x)=c，或者 $\lim_{x\to-\infty}f(x)=c$limx→−∞​f(x)=c（$c$c 是常数），则直线 $y=c$y=c 叫曲线的水平渐近线。$x\to+\infty$x→+∞ 与 $x\to-\infty$x→−∞ 要分别计算，两边的结果可以不同，也可能有两条水平渐近线。

垂直渐近线

如果 $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$limx→a​f(x)=∞（左极限或右极限为无穷大也行），则直线 $x=a$x=a 叫曲线的垂直渐近线。它一般出现在函数没有定义的点，比如分母等于 0 的点，但需要再验证极限是不是无穷大。

下表列出了几个常见函数的结果：

函数	水平渐近线	垂直渐近线
$y=\dfrac{2x+1}{x-3}$y=x−32x+1​	$y=2$y=2	$x=3$x=3
$y=e^{-x}$y=e−x	$y=0$y=0（$x\to+\infty$x→+∞）	无
$y=\ln x$y=lnx	无	$x=0$x=0
$y=\arctan x$y=arctanx	$y=\frac{\pi}{2}$y=2π​ 与 $y=-\frac{\pi}{2}$y=−2π​	无