导数的概念与几何意义

本节导读

导数描述函数的变化快慢：路程对时间的导数是速度，成本对产量的导数是边际成本。从这一节开始进入微分学，后面求导公式、单调性、极值、最值都建立在导数之上。

在试卷里，这一节的考点主要有三类：按定义式变形求极限（选择题、填空题），求曲线在某点的切线或法线方程（填空题、解答题），以及判断函数在一点是否可导（选择题）。学完这一节，你应该能熟练处理这三类题。

导数的定义

在一点的导数

设函数 $y=f(x)$y=f(x) 在 $x_0$x0​ 附近有定义，如果极限

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

存在，就说 $f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 处可导，这个极限值叫做 $f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 处的导数，记作 $f'(x_0)$f′(x0​)。它也可以写成 $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$f′(x0​)=limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​。

如果 $f(x)$f(x) 在区间内每一点都可导，那么对每个 $x$x 都有一个导数值，它是 $x$x 的函数，叫导函数，仍记作 $f'(x)$f′(x) 或 $y'$y′。例如用定义可得 $(x^2)'=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$(x2)′=limh→0​h(x+h)2−x2​=limh→0​(2x+h)=2x。

定义式的变形

考试中常给出和定义式长得不一样的极限，关键是看分子的增量与分母是否一致。下面三个结果建议记住（$f'(x_0)$f′(x0​) 存在）：

极限	结果
$\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}$limh→0​hf(x0​+2h)−f(x0​)​	$2f'(x_0)$2f′(x0​)
$\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$limh→0​hf(x0​)−f(x0​−h)​	$f'(x_0)$f′(x0​)
$\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​−h)​	$2f'(x_0)$2f′(x0​)

方法是：分母写成与分子里的增量相同的形式，缺什么乘什么、同时除什么。第一行 $\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}=2\cdot\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}$hf(x0​+2h)−f(x0​)​=2⋅2hf(x0​+2h)−f(x0​)​，所以结果是 $2f'(x_0)$2f′(x0​)。

单侧导数

把定义中的 $\Delta x\to0$Δx→0 改成只从一侧趋近，得到左导数 $f'_-(x_0)$f−′​(x0​) 和右导数 $f'_+(x_0)$f+′​(x0​)。$f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 可导的充要条件是左、右导数都存在并且相等。例如 $f(x)=\lvert x\rvert$f(x)=∣x∣ 在 $x=0$x=0 处，左导数是 $-1$−1，右导数是 $1$1，不相等，所以不可导。

几何意义与切线、法线

几何意义

$f'(x_0)$f′(x0​) 就是曲线 $y=f(x)$y=f(x) 在点 $(x_0,f(x_0))$(x0​,f(x0​)) 处切线的斜率。过切点且垂直于切线的直线叫法线。

切线方程与法线方程

由点斜式得到下面两个方程：

• 切线：$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)。
• 法线（$f'(x_0)\ne0$f′(x0​)=0）：$y-f(x_0)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$y−f(x0​)=−f′(x0​)1​(x−x0​)。

如果 $f'(x_0)=0$f′(x0​)=0，切线是水平线 $y=f(x_0)$y=f(x0​)，法线是竖直线 $x=x_0$x=x0​。例如曲线 $y=x^2$y=x2 在点 $(1,1)$(1,1) 处，斜率 $f'(1)=2$f′(1)=2，切线是 $y-1=2(x-1)$y−1=2(x−1)，即 $y=2x-1$y=2x−1；法线斜率为 $-\frac{1}{2}$−21​。

可导与连续的关系

可导一定连续，但连续不一定可导。理由是：若 $f'(x_0)$f′(x0​) 存在，则 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$Δy=f′(x0​)Δx+o(Δx)，当 $\Delta x\to0$Δx→0 时 $\Delta y\to0$Δy→0，这正是连续的定义。

反过来不成立：$f(x)=\lvert x\rvert$f(x)=∣x∣ 在 $x=0$x=0 连续，却不可导。图像上的「尖点」处不可导。取逆否命题：函数在一点不连续，则在该点一定不可导。

易错提醒

• ❌ 认为连续的函数一定可导。✅ $\lvert x\rvert$∣x∣ 在 $x=0$x=0 处连续，但左、右导数不相等，不可导。

• ❌ 认为 $\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)$limh→0​hf(x0​+2h)−f(x0​)​=f′(x0​)。✅ 增量是 $2h$2h，分母只有 $h$h，要补一个因子 2，结果是 $2f'(x_0)$2f′(x0​)。

• ❌ 写切线方程时，把 $f(x_0)$f(x0​) 当成斜率。✅ 斜率是导数值 $f'(x_0)$f′(x0​)，$f(x_0)$f(x0​) 是切点的纵坐标。

• ❌ 法线斜率写成 $-f'(x_0)$−f′(x0​)。✅ 法线与切线垂直，斜率是切线斜率的负倒数 $-\frac{1}{f'(x_0)}$−f′(x0​)1​。

• ❌ 认为不可导的点函数值一定不存在。✅ 不可导的点函数可以有定义，如 $\lvert x\rvert$∣x∣ 在 $0$0 处值为 0。

例题精讲

例题 1

用导数的定义求 $f(x)=x^2$f(x)=x2 在 $x=3$x=3 处的导数。

答案：6

解析：$f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2-3^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{6h+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(6+h)=6$f′(3)=limh→0​h(3+h)2−32​=limh→0​h6h+h2​=limh→0​(6+h)=6。

例题 2

已知 $f'(2)=3$f′(2)=3，求 $\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{h}$limh→0​hf(2+3h)−f(2)​。

答案：9

解析：分母要凑成 $3h$3h：$\frac{f(2+3h)-f(2)}{h}=3\cdot\frac{f(2+3h)-f(2)}{3h}$hf(2+3h)−f(2)​=3⋅3hf(2+3h)−f(2)​。当 $h\to0$h→0 时 $3h\to0$3h→0，后一个因子趋于 $f'(2)=3$f′(2)=3，所以结果是 $3\times3=9$3×3=9。

例题 3

求曲线 $y=x^3$y=x3 在点 $(1,1)$(1,1) 处的切线方程和法线方程。

答案：切线 $y=3x-2$y=3x−2；法线 $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3}$y=−31​x+34​

解析：由定义可得 $(x^3)'=3x^2$(x3)′=3x2（下一节会把这类公式列成表），所以切线斜率 $k=3\times1^2=3$k=3×12=3。切线：$y-1=3(x-1)$y−1=3(x−1)，即 $y=3x-2$y=3x−2。法线斜率是 $-\frac{1}{3}$−31​，法线：$y-1=-\frac{1}{3}(x-1)$y−1=−31​(x−1)，即 $y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$y=−31​x+34​。

本节小结

• 导数是增量比的极限：$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$f′(x0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​。
• 做定义式的变形题，抓住「分子的增量要和分母一致」，缺几倍补几倍。
• 可导的充要条件是左、右导数存在且相等。
• 导数的几何意义是切线斜率；切线 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)，法线斜率是切线斜率的负倒数。
• 可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导。