复合函数求导与隐函数求导

本节导读

上一节的公式只能处理 $\sin x$sinx、$e^{x}$ex 这类「单层」函数。实际遇到的函数大多是多层套在一起的，比如 $\sin 2x$sin2x、$e^{x^2}$ex2、$\ln(1+x^2)$ln(1+x2)，这就要用复合函数求导法则。另外，有些函数由方程 $x^2+y^2=25$x2+y2=25 这样的形式给出，不方便解出 $y$y，要用隐函数求导。

在试卷里，求复合函数的导数是出现频率很高的运算，隐函数求导常在选择题、填空题里出现某一点的导数值。学完这一节，你应该能熟练地「由外向内、层层求导」，并会用对数求导法求幂指函数的导数。

复合函数求导法则

链式法则

设 $y=f(u)$y=f(u)，$u=g(x)$u=g(x)，且两个函数都可导，则复合函数 $y=f(g(x))$y=f(g(x)) 可导，并且

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(u)\cdot g'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$$dxdy​=f′(u)⋅g′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)

口诀是「由外向内，层层求导，再相乘」：先对最外层函数求导，里面的式子原样不动，再乘上里面一层的导数。多层复合时依次往里做。

常用结果

下面几个结果出现频率很高，熟了可以直接写：

函数	导数
$\sin(ax+b)$sin(ax+b)	$a\cos(ax+b)$acos(ax+b)
$e^{kx}$ekx	$k\,e^{kx}$kekx
$e^{x^2}$ex2	$2x\,e^{x^2}$2xex2
$\ln(1+x^2)$ln(1+x2)	$\dfrac{2x}{1+x^2}$1+x22x​
$(ax+b)^{n}$(ax+b)n	$na\,(ax+b)^{n-1}$na(ax+b)n−1
$\sqrt{1+x^2}$1+x2​	$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$1+x2​x​

三层的例子：$y=\ln\cos2x$y=lncos2x 可以拆成 $y=\ln u$y=lnu，$u=\cos v$u=cosv，$v=2x$v=2x。逐层求导：$y'=\frac{1}{\cos2x}\cdot(-\sin2x)\cdot2=-2\tan2x$y′=cos2x1​⋅(−sin2x)⋅2=−2tan2x。

隐函数求导法

如果方程 $F(x,y)=0$F(x,y)=0 确定了 $y$y 是 $x$x 的函数，但不容易解出 $y$y，就用隐函数求导法：方程两边同时对 $x$x 求导，把 $y$y 看成 $x$x 的函数，用复合函数求导法则；最后从等式里解出 $y'$y′。

对含 $y$y 的项求导时，要记住多乘一个 $y'$y′：

对 $x$x 求导	结果
$(y^2)'$(y2)′	$2y\,y'$2yy′
$(e^{y})'$(ey)′	$e^{y}\,y'$eyy′
$(xy)'$(xy)′	$y+x\,y'$y+xy′
$(\sin y)'$(siny)′	$\cos y\cdot y'$cosy⋅y′

例如由 $x^2+y^2=25$x2+y2=25 确定 $y(x)$y(x)。两边对 $x$x 求导得 $2x+2yy'=0$2x+2yy′=0，解出 $y'=-\frac{x}{y}$y′=−yx​。在点 $(3,4)$(3,4) 处，$y'=-\frac{3}{4}$y′=−43​。注意导数表达式里可以同时含 $x$x 和 $y$y，求某点的值要把这点的两个坐标都代入。

对数求导法

形如 $y=u(x)^{v(x)}$y=u(x)v(x) 的幂指函数，底数和指数都含 $x$x，既不能用幂函数公式，也不能用指数函数公式。办法是先取对数，把幂指化为乘积，再用隐函数求导：

$$y=x^{x}\ \Rightarrow\ \ln y=x\ln x\ \Rightarrow\ \frac{y'}{y}=\ln x+1\ \Rightarrow\ y'=x^{x}(\ln x+1)$$y=xx ⇒ lny=xlnx ⇒ yy′​=lnx+1 ⇒ y′=xx(lnx+1)

步骤是：两边取对数；两边对 $x$x 求导（左边是 $\frac{y'}{y}$yy′​）；解出 $y'$y′ 并把 $y$y 换回原函数。对数求导法也可用于多个因式连乘、连除的函数，能把乘除变成加减。

易错提醒

• ❌ 认为 $(\sin2x)'=\cos2x$(sin2x)′=cos2x。✅ 漏乘了里层的导数，应是 $2\cos2x$2cos2x。

• ❌ 认为 $(e^{x^2})'=e^{x^2}$(ex2)′=ex2，或写成 $x^2e^{x^2-1}$x2ex2−1。✅ 外层是指数函数，导数不变，再乘里层的导数 $2x$2x，得 $2x\,e^{x^2}$2xex2。

• ❌ 隐函数求导时，把 $(y^2)'$(y2)′ 写成 $2y$2y。✅ $y$y 是 $x$x 的函数，要用链式法则，$(y^2)'=2y\,y'$(y2)′=2yy′。

• ❌ 把 $y=x^{x}$y=xx 当作幂函数，写成 $y'=x\cdot x^{x-1}$y′=x⋅xx−1。✅ 底数和指数都含 $x$x，要用对数求导法，$y'=x^{x}(\ln x+1)$y′=xx(lnx+1)。

• ❌ 把 $(a^{x})'$(ax)′ 与 $(x^{a})'$(xa)′ 混用。✅ $a^{x}$ax 是指数函数，导数是 $a^{x}\ln a$axlna；$x^{a}$xa 是幂函数，导数是 $ax^{a-1}$axa−1。

例题精讲

例题 1

求 $y=\sin(3x^2)$y=sin(3x2) 的导数。

答案：$y'=6x\cos(3x^2)$y′=6xcos(3x2)

解析：外层是正弦，内层是 $3x^2$3x2。先对外层求导得 $\cos(3x^2)$cos(3x2)，再乘内层的导数 $(3x^2)'=6x$(3x2)′=6x，所以 $y'=6x\cos(3x^2)$y′=6xcos(3x2)。

例题 2

由方程 $x^2+xy+y^2=3$x2+xy+y2=3 确定 $y$y 是 $x$x 的函数，求 $y'$y′，并求在点 $(1,1)$(1,1) 处的值。

答案：$y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$y′=−x+2y2x+y​；在 $(1,1)$(1,1) 处 $y'=-1$y′=−1

解析：两边对 $x$x 求导：$2x+(y+xy')+2yy'=0$2x+(y+xy′)+2yy′=0，整理得 $(x+2y)y'=-(2x+y)$(x+2y)y′=−(2x+y)，所以 $y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$y′=−x+2y2x+y​。代入 $x=1,y=1$x=1,y=1：$y'=-\frac{3}{3}=-1$y′=−33​=−1。

例题 3

求 $y=x^{\sin x}$y=xsinx（$x\gt0$x>0）的导数。

答案：$y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$y′=xsinx(cosxlnx+xsinx​)

解析：两边取对数：$\ln y=\sin x\cdot\ln x$lny=sinx⋅lnx。两边对 $x$x 求导：$\frac{y'}{y}=\cos x\cdot\ln x+\sin x\cdot\frac{1}{x}$yy′​=cosx⋅lnx+sinx⋅x1​。所以 $y'=y\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$y′=y(cosxlnx+xsinx​)=xsinx(cosxlnx+xsinx​)。

本节小结

• 复合函数求导是「由外向内、层层求导、再相乘」：$[f(g(x))]'=f'(g(x))\,g'(x)$[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)。
• 隐函数求导：方程两边对 $x$x 求导，含 $y$y 的项多乘 $y'$y′，再解出 $y'$y′。
• 隐函数的导数里往往同时含 $x$x 和 $y$y，求某点的导数值要代入这点的两个坐标。
• 幂指函数 $y=u^{v}$y=uv 用对数求导法：取对数、求导、解出 $y'$y′。
• 求导时分清 $a^{x}$ax（指数函数）、$x^{a}$xa（幂函数）和 $x^{x}$xx（幂指函数）。