极限的概念与性质

本节导读

极限是微积分的出发点：连续、导数、定积分，后面所有概念都是用极限来定义的。这一节先把「极限是什么」讲清楚，下一节再学怎么算。

在试卷里，这部分常见的考法有三种：选择题或填空题直接问某个极限的值，判断某个极限是否存在，以及分段函数在分界点处的左极限、右极限。学完这一节，你应该能说清函数在一点的极限和函数值的区别，会用左右极限判断极限是否存在。

数列的极限

什么叫数列有极限

当项数 $n$n 无限增大时，如果数列 $a_n$an​ 无限接近某一个确定的常数 $A$A，就说 $A$A 是数列的极限，记作 $\lim_{n\to\infty}a_n=A$limn→∞​an​=A，这时数列叫收敛。否则叫发散。

要注意，「极限存在」指的是 $A$A 是一个确定的有限数。如果数列越来越大，趋向无穷大，习惯上写成 $\lim a_n=\infty$liman​=∞，但这种情况极限是不存在的。

几个常用结论

下面几个结论可以直接使用：

数列	变化趋势	极限
$\frac{1}{n}$n1​	越来越接近 0	$0$0
$\frac{n}{n+1}$n+1n​	越来越接近 1	$1$1
$q^{n}$qn（$\lvert q\rvert\lt1$∣q∣<1）	越来越接近 0	$0$0
$(-1)^{n}$(−1)n	在 $-1$−1 和 $1$1 之间来回摆动	不存在
$2^{n}$2n	无限增大	不存在

函数的极限

x 趋于有限值时的极限

当 $x$x 无限接近 $x_0$x0​（但 $x\ne x_0$x=x0​）时，如果 $f(x)$f(x) 无限接近某个确定的常数 $A$A，就说当 $x\to x_0$x→x0​ 时 $f(x)$f(x) 的极限是 $A$A，记作 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$limx→x0​​f(x)=A。

关键一点：极限只看 $x$x 靠近 $x_0$x0​ 时 $f(x)$f(x) 的趋势，与 $f(x_0)$f(x0​) 有没有定义、等于多少都没有关系。例如 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$f(x)=x−1x2−1​ 在 $x=1$x=1 处没有定义，但 $x\ne1$x=1 时 $f(x)=x+1$f(x)=x+1，所以 $\lim_{x\to1}f(x)=2$limx→1​f(x)=2。

x 趋于无穷时的极限

$x\to+\infty$x→+∞ 表示 $x$x 沿数轴正方向无限增大，$x\to-\infty$x→−∞ 表示沿负方向无限减小，$x\to\infty$x→∞ 则是这两个方向合在一起。常用的结论有：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,\quad \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0,\quad \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$$x→∞lim​x1​=0,x→+∞lim​e−x=0,x→−∞lim​ex=0

$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$limx→∞​f(x)=A 成立的条件是 $x\to+\infty$x→+∞ 与 $x\to-\infty$x→−∞ 时的极限都存在并且都等于 $A$A。比如 $\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}$limx→+∞​arctanx=2π​，而 $\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}$limx→−∞​arctanx=−2π​，两边不相等，所以 $\lim_{x\to\infty}\arctan x$limx→∞​arctanx 不存在。

左极限与右极限

单侧极限与极限存在的条件

只从 $x_0$x0​ 的左边靠近（$x\lt x_0$x<x0​），得到左极限，记作 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$limx→x0−​​f(x)。只从右边靠近（$x\gt x_0$x>x0​），得到右极限，记作 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$limx→x0+​​f(x)。

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$$x→x0​lim​f(x)=A⟺x→x0−​lim​f(x)=x→x0+​lim​f(x)=A

也就是说，左右极限都存在而且相等，极限才存在。分段函数在分界点两侧的式子不同，必须分别求左极限和右极限。例如 $f(x)=\frac{\lvert x\rvert}{x}$f(x)=x∣x∣​ 在 $x=0$x=0 处：$x\gt0$x>0 时 $f(x)=1$f(x)=1，$x\lt0$x<0 时 $f(x)=-1$f(x)=−1，左右极限不相等，所以 $\lim_{x\to0}f(x)$limx→0​f(x) 不存在。

极限的基本性质

极限有几条常用的性质，了解就可以：

• 唯一性：极限存在，则极限值是唯一的。
• 局部有界性：$\lim_{x\to x_0}f(x)$limx→x0​​f(x) 存在，则 $f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 附近有界。
• 局部保号性：若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A\gt0$limx→x0​​f(x)=A>0，则在 $x_0$x0​ 附近 $f(x)\gt0$f(x)>0。
• 夹逼准则：若在 $x_0$x0​ 附近 $g(x)\le f(x)\le h(x)$g(x)≤f(x)≤h(x)，且 $g(x)$g(x)、$h(x)$h(x) 的极限都是 $A$A，则 $f(x)$f(x) 的极限也是 $A$A。

夹逼准则的典型用法：因为 $-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}$−x1​≤xsinx​≤x1​（$x\gt0$x>0），两边的极限都是 0，所以 $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$limx→+∞​xsinx​=0。

易错提醒

• ❌ 认为极限值就是函数值 $f(x_0)$f(x0​)。✅ 极限只看趋势，与 $f(x_0)$f(x0​) 是否有定义无关，$\frac{x^2-1}{x-1}$x−1x2−1​ 在 $x=1$x=1 处没有定义，极限却是 2。

• ❌ 左极限、右极限都存在，就说极限存在。✅ 两个单侧极限还必须相等。

• ❌ 把 $\lim_{x\to\infty}\arctan x$limx→∞​arctanx 写成 $\frac{\pi}{2}$2π​。✅ $x\to+\infty$x→+∞ 与 $x\to-\infty$x→−∞ 的结果相反，这个极限不存在。

• ❌ 以为 $\lim a_n=\infty$liman​=∞ 说明极限存在。✅ 极限存在是指等于确定的有限数，趋向无穷大时极限不存在。

• ❌ 认为 $(-1)^n$(−1)n 的极限是 0。✅ 它在 $-1$−1 和 $1$1 之间摆动，不趋于任何一个数，极限不存在。

例题精讲

例题 1

求 $\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$limx→1​x−1x2−1​。

答案：2

解析：$x\to1$x→1 时 $x\ne1$x=1，可以把分子分解成 $(x-1)(x+1)$(x−1)(x+1) 并约去 $x-1$x−1，得 $\lim_{x\to1}(x+1)=2$limx→1​(x+1)=2。函数在 $x=1$x=1 处没有定义，不影响极限。

例题 2

设 $f(x)=\begin{cases}x+2, & x\lt1\\ x^2-1, & x\ge1\end{cases}$f(x)={x+2,x2−1,​x<1x≥1​，问 $\lim_{x\to1}f(x)$limx→1​f(x) 是否存在？

答案：不存在

解析：左极限 $\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x+2)=3$limx→1−​f(x)=limx→1−​(x+2)=3，右极限 $\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(x^2-1)=0$limx→1+​f(x)=limx→1+​(x2−1)=0。两个单侧极限都存在，但 $3\ne0$3=0，所以极限不存在。

例题 3

求 $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}$limn→∞​n2n+1​。

答案：2

解析：先把分式拆开：$\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$n2n+1​=2+n1​。当 $n\to\infty$n→∞ 时 $\frac{1}{n}\to0$n1​→0，所以极限是 $2+0=2$2+0=2。

本节小结

• 极限描述的是变量的变化趋势，数列极限看 $n\to\infty$n→∞，函数极限看 $x\to x_0$x→x0​ 或 $x\to\infty$x→∞。
• $\lim_{x\to x_0}f(x)$limx→x0​​f(x) 与 $f(x_0)$f(x0​) 是否有定义、取什么值无关。
• 极限存在的充要条件是左极限、右极限都存在且相等；分段函数的分界点要分别求单侧极限。
• 极限存在指等于确定的有限数；趋向无穷大或来回摆动的情形，极限都不存在。
• 极限有唯一性、局部有界性、局部保号性，夹逼准则可以用来求 $\frac{\sin x}{x}$xsinx​ 这类极限。