牛顿-莱布尼茨公式与变上限积分

本节导读

定积分的定义是和式的极限，直接用它来计算几乎不可能。牛顿-莱布尼茨公式把定积分的计算化成了求原函数：先求不定积分，再代入上下限相减。这条公式把微分学和积分学连成了一个整体，是整章的核心。

这一节还要学变上限积分——上限是变量的定积分，以及它的求导公式。在试卷里，用牛顿-莱布尼茨公式算定积分是最常见的运算题之一；变上限积分求导常考选择题、填空题，也常与洛必达法则结合出现在求极限里。

牛顿-莱布尼茨公式

公式

设 $f(x)$f(x) 在 $[a,b]$[a,b] 上连续，$F(x)$F(x) 是 $f(x)$f(x) 的任意一个原函数，则

$$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b$$∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)=[F(x)]ab​

计算的步骤是：求被积函数的一个原函数（不需要写 $+C$+C，写了也会抵消），把上限和下限分别代入，上限的值减去下限的值。下面是几个常用的结果：

定积分	计算
$\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x$∫01​x2dx	$\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{3}$[3x3​]01​=31​
$\int_1^{e}\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$∫1e​x1​dx	$\Big[\ln x\Big]_1^{e}=1$[lnx]1e​=1
$\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$∫0π​sinxdx	$\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi}=2$[−cosx]0π​=2
$\int_0^1e^{x}\,\mathrm{d}x$∫01​exdx	$\Big[e^{x}\Big]_0^1=e-1$[ex]01​=e−1
$\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$∫01​1+x21​dx	$\Big[\arctan x\Big]_0^1=\dfrac{\pi}{4}$[arctanx]01​=4π​
$\int_1^4\sqrt{x}\,\mathrm{d}x$∫14​x​dx	$\left[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^4=\dfrac{14}{3}$[32​x23​]14​=314​

带绝对值或分段函数的积分

被积函数含绝对值或是分段函数时，要先找到分界点，把积分区间分成几段，每段去掉绝对值再分别积分。例如

$$\int_0^2\lvert x-1\rvert\,\mathrm{d}x=\int_0^1(1-x)\,\mathrm{d}x+\int_1^2(x-1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$∫02​∣x−1∣dx=∫01​(1−x)dx+∫12​(x−1)dx=21​+21​=1

变上限的定积分

定义与求导公式

设 $f(x)$f(x) 在 $[a,b]$[a,b] 上连续，则 $\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t$Φ(x)=∫ax​f(t)dt 是上限为变量 $x$x 的函数。这里积分变量写成 $t$t，是为了和上限 $x$x 区别开。它有一个重要的结论：

$$\Phi'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t=f(x)$$Φ′(x)=dxd​∫ax​f(t)dt=f(x)

这说明连续函数一定有原函数，$\Phi(x)$Φ(x) 就是 $f(x)$f(x) 的一个原函数。如果上限是 $x$x 的函数 $\varphi(x)$φ(x)，要用复合函数求导法则；如果变量在下限，要变号：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\varphi(x))\,\varphi'(x),\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^{b}f(t)\,\mathrm{d}t=-f(x)$$dxd​∫aφ(x)​f(t)dt=f(φ(x))φ′(x),dxd​∫xb​f(t)dt=−f(x)

例如：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^xe^{t^2}\,\mathrm{d}t=e^{x^2}$dxd​∫0x​et2dt=ex2；$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_1^{x^2}\ln t\,\mathrm{d}t=\ln(x^2)\cdot2x=4x\ln x$dxd​∫1x2​lntdt=ln(x2)⋅2x=4xlnx（$x\gt0$x>0）；$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^2\sin t^2\,\mathrm{d}t=-\sin x^2$dxd​∫x2​sint2dt=−sinx2。