原函数与不定积分

本节导读

求导是已知函数求它的变化率，积分反过来：已知变化率，求原来的函数。不定积分就是求导的逆运算。积分在试卷里分量很重，选择题、填空题、解答题里都会出现，而且定积分的计算要建立在不定积分的基础上。

这一节是积分的入门：弄清原函数和不定积分的关系，熟记基本积分公式，会通过恒等变形把被积函数化成基本公式的和。学完这一节，你应该能把求导公式表「倒着背」，并能求出简单函数的不定积分。

原函数与不定积分

原函数

如果在某个区间内，$F'(x)=f(x)$F′(x)=f(x)，就说 $F(x)$F(x) 是 $f(x)$f(x) 的一个原函数。例如 $(x^2)'=2x$(x2)′=2x，所以 $x^2$x2 是 $2x$2x 的一个原函数。而 $x^2+1$x2+1、$x^2-5$x2−5 的导数也是 $2x$2x，它们也是 $2x$2x 的原函数。一般地，一个函数有无数个原函数，它们彼此只相差一个常数。

不定积分

$f(x)$f(x) 的全体原函数叫做 $f(x)$f(x) 的不定积分，记作

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$$∫f(x)dx=F(x)+C

其中 $\int$∫ 是积分号，$f(x)$f(x) 是被积函数，$x$x 是积分变量，$C$C 是任意常数（积分常数）。积分和求导是互逆的运算：

• $\left[\int f(x)\,\mathrm{d}x\right]'=f(x)$[∫f(x)dx]′=f(x)，先积分再求导，回到原函数；
• $\int F'(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$∫F′(x)dx=F(x)+C，先求导再积分，要补上常数 $C$C。

积分结果对不对，可以对结果求导来检验：导数应当等于被积函数。

基本积分公式

代数、指数函数的积分

下表是最基本的几个公式，其中 $a$a、$k$k 是常数。公式的来源就是求导公式倒过来：

被积函数	不定积分
$k$k	$kx+C$kx+C
$x^{a}$xa（$a\ne-1$a=−1）	$\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C$a+1xa+1​+C
$\dfrac{1}{x}$x1​	$\ln\lvert x\rvert+C$ln∣x∣+C
$e^{x}$ex	$e^{x}+C$ex+C
$a^{x}$ax（$a\gt0$a>0，$a\ne1$a=1）	$\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$lnaax​+C

三角函数的积分

三角函数和反三角函数相关的积分公式如下：

被积函数	不定积分
$\sin x$sinx	$-\cos x+C$−cosx+C
$\cos x$cosx	$\sin x+C$sinx+C
$\sec^2x$sec2x	$\tan x+C$tanx+C
$\csc^2x$csc2x	$-\cot x+C$−cotx+C
$\dfrac{1}{1+x^2}$1+x21​	$\arctan x+C$arctanx+C
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$1−x2​1​	$\arcsin x+C$arcsinx+C

不定积分的性质与直接积分法

线性性质

不定积分对和差与常数倍是线性的：

$$\int[f(x)\pm g(x)]\,\mathrm{d}x=\int f(x)\,\mathrm{d}x\pm\int g(x)\,\mathrm{d}x,\qquad \int kf(x)\,\mathrm{d}x=k\int f(x)\,\mathrm{d}x$$∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx,∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

但积分没有「乘积法则」：$\int f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$∫f(x)g(x)dx 一般不等于两个积分相乘。遇到乘积或商，要先展开、拆项。

直接积分法

先对被积函数做恒等变形，化成基本公式的和，再逐项积分，结果只写一个 $C$C。例如

$$\int\frac{(x-1)^2}{x}\,\mathrm{d}x=\int\left(x-2+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}-2x+\ln\lvert x\rvert+C$$∫x(x−1)2​dx=∫(x−2+x1​)dx=2x2​−2x+ln∣x∣+C