函数的单调性与极值

本节导读

导数告诉我们函数在每一点的变化趋势：导数为正，函数上升；导数为负，函数下降。利用这一点，可以不画图就得到函数的单调区间和极值。这一节是导数应用里最核心的内容，选择题、填空题和解答题都会考。

学完这一节，你应该能熟练地按步骤列表求单调区间和极值，知道「驻点」和「极值点」的区别，并会用一阶、二阶导数两种方法判别极值。

函数的单调性

判别定理

设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $I$I 上可导：

• 如果在 $I$I 内 $f'(x)\gt0$f′(x)>0，则 $f(x)$f(x) 在 $I$I 上单调增加；
• 如果在 $I$I 内 $f'(x)\lt0$f′(x)<0，则 $f(x)$f(x) 在 $I$I 上单调减少。

求单调区间的步骤

按下面五步做，列表最不容易漏：

• 第一步，求定义域；
• 第二步，求 $f'(x)$f′(x)；
• 第三步，令 $f'(x)=0$f′(x)=0 求出驻点，并找出 $f'(x)$f′(x) 不存在的点；
• 第四步，用这些点把定义域分成若干个区间，判断每个区间上 $f'(x)$f′(x) 的符号；
• 第五步，根据符号写出单调区间。

例如 $f(x)=x^3-3x$f(x)=x3−3x，$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，驻点是 $x=-1$x=−1 和 $x=1$x=1。列表如下：

$x$x	$(-\infty,-1)$(−∞,−1)	$-1$−1	$(-1,1)$(−1,1)	$1$1	$(1,+\infty)$(1,+∞)
$f'(x)$f′(x)	$+$+	$0$0	$-$−	$0$0	$+$+
$f(x)$f(x)	增	极大值 $2$2	减	极小值 $-2$−2	增

所以 $f(x)$f(x) 在 $(-\infty,-1)$(−∞,−1) 和 $(1,+\infty)$(1,+∞) 上单调增加，在 $(-1,1)$(−1,1) 上单调减少。

函数的极值

极值的定义

如果在 $x_0$x0​ 的某个邻域内，总有 $f(x)\le f(x_0)$f(x)≤f(x0​)，就说 $f(x_0)$f(x0​) 是极大值；总有 $f(x)\ge f(x_0)$f(x)≥f(x0​)，就说 $f(x_0)$f(x0​) 是极小值。极大值、极小值统称极值，使函数取得极值的点 $x_0$x0​ 叫极值点。极值是「局部」的概念，只和附近的点比较，所以极大值不一定比极小值大。

驻点与不可导点

使 $f'(x_0)=0$f′(x0​)=0 的点叫驻点。可导函数在极值点处一定有 $f'(x_0)=0$f′(x0​)=0，也就是说，极值点必是驻点；但反过来不对：$y=x^3$y=x3 在 $x=0$x=0 处 $f'(0)=0$f′(0)=0，却不是极值点。

另外，导数不存在的点也可能是极值点，比如 $y=\lvert x\rvert$y=∣x∣ 在 $x=0$x=0 处不可导，却取得极小值 0。所以可能的极值点有两类：驻点和导数不存在的点。

极值的判别法

第一充分条件：看导数符号的变化

设 $f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 处连续，在 $x_0$x0​ 附近可导（$x_0$x0​ 本身可以除外），则：

$x_0$x0​ 左侧	$x_0$x0​ 右侧	结论
$f'(x)\gt0$f′(x)>0	$f'(x)\lt0$f′(x)<0	$f(x_0)$f(x0​) 是极大值
$f'(x)\lt0$f′(x)<0	$f'(x)\gt0$f′(x)>0	$f(x_0)$f(x0​) 是极小值
符号相同	符号相同	$x_0$x0​ 不是极值点

第二充分条件：用二阶导数

设 $f'(x_0)=0$f′(x0​)=0，$f''(x_0)$f′′(x0​) 存在。若 $f''(x_0)\lt0$f′′(x0​)<0，则 $f(x_0)$f(x0​) 是极大值；若 $f''(x_0)\gt0$f′′(x0​)>0，则 $f(x_0)$f(x0​) 是极小值；若 $f''(x_0)=0$f′′(x0​)=0，这个方法失效，要回到第一充分条件。

例如 $f(x)=x-\ln x$f(x)=x−lnx（$x\gt0$x>0），$f'(x)=1-\frac{1}{x}$f′(x)=1−x1​，驻点 $x=1$x=1。$f''(x)=\frac{1}{x^2}$f′′(x)=x21​，$f''(1)=1\gt0$f′′(1)=1>0，所以 $f(1)=1$f(1)=1 是极小值。