选择题与填空题快解：特殊值、几何意义与对称性

本节导读

按本课第 1 节《考试介绍与备考方法》给的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准），选择题、填空题各 10 道，每道 4 分，合计 80 分。第 1 节说选择题「可以用排除法、代入特殊值，不必写过程」，填空题「结果要化成最简形式」，这一节把这两句话展开成五个作答模板。

这一节不讲新知识，五种快解的道理都在主线里：特殊值用到第 8 节《导数的概念与几何意义》的定义式，几何意义见第 20 节《定积分的概念与性质》，奇偶性见第 22 节《定积分的换元法与分部积分法》，分布列的性质见第 30 节《离散型随机变量及其分布》。每种快解按同一个格式写：看到什么就用、三步怎么做、一句话模板、一个示范、什么时候不能用。

时间怎么分

第 1 节给的参考分配是选择题、填空题各 25 分钟左右，平均每题 2 至 3 分钟，卡住的先跳过；第 32 节《考前冲刺与应试策略》的时间表相同。快解不改这个分配，改的是每道题的走法：读完题先花半分钟对照下表，对得上就先试快解，省下的时间留给检查（第 1 节建议留 15 至 20 分钟）。

题目里看到	先试	见
抽象函数 $f(x)$f(x)，选项是一般的式子	特殊值与排除法	快解一
被积函数是一次函数，或形如 $\sqrt{r^2-(x-a)^2}$r2−(x−a)2​	几何意义	快解二
积分区间是 $[-a,a]$[−a,a]	奇偶性	快解三
分布列里有字母	概率之和为 1	快解四
填空题算出了结果	化成最简再写	快解五

对不上表里任何一行，就按主线的方法算；一道小题算了 3 分钟还没有头绪，做个记号跳过，做完一遍再回来。

各题型作答模板

快解一：特殊值与排除法

看到什么就用：题干是抽象函数（只说「$f(x)$f(x) 可导」这类条件），或条件对一类函数都成立，四个选项是一般的式子。

三步：

1. 取满足题干全部条件的简单函数或数值，如 $f(x)=x$f(x)=x、$f(x)=x^2$f(x)=x2、$x=1$x=1。
2. 代入题干算出结果，再代入四个选项比对。
3. 只剩一个就选它；剩两个就换一个特殊值再代。

一句话模板：「取 ___（满足全部条件），题干得 ___，排除 ___，选 ___。」

示范：已知 $f'(x_0)$f′(x0​) 存在，求 $\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0-3h)}{h}$limh→0​hf(x0​+2h)−f(x0​−3h)​。取 $f(x)=x$f(x)=x，分子是 $(x_0+2h)-(x_0-3h)=5h$(x0​+2h)−(x0​−3h)=5h，极限为 5，而这时 $f'(x_0)=1$f′(x0​)=1，所以结果是 $5f'(x_0)$5f′(x0​)。按第 8 节的做法拆成两个定义式，得 $2f'(x_0)+3f'(x_0)$2f′(x0​)+3f′(x0​)，结果相同。

什么时候不能用：特殊值不满足题干条件时（题目要奇函数，却取 $f(x)=x+1$f(x)=x+1）；填空题要一般的式子时，特殊值只能帮你猜，还要按主线方法核一遍；选项只差在 $f'$f′ 的位置（如 $f'(x_0)$f′(x0​) 与 $f'(2x_0)$f′(2x0​)）时，$f(x)=x$f(x)=x 代出来都是 1，要改取 $f(x)=x^2$f(x)=x2。

快解二：用几何意义算定积分

看到什么就用：被积函数是一次函数（图形是三角形、梯形），或形如 $\sqrt{r^2-(x-a)^2}$r2−(x−a)2​（圆心 $(a,0)$(a,0)、半径 $r$r 的上半圆），直接找原函数麻烦。

三步：

1. 画出 $y=f(x)$y=f(x) 在积分区间上的图形。
2. 认出三角形、梯形或圆的一部分，用面积公式算。
3. $x$x 轴上方记正、下方记负，再相加（第 20 节：面积的代数和）。

一句话模板：「$y=$y= ___ 的图形是 ___，上方面积 ___、下方面积 ___，积分等于 ___。」

示范：$\int_{-1}^{4}(2-x)\,\mathrm{d}x$∫−14​(2−x)dx。直线 $y=2-x$y=2−x 与 $x$x 轴交于 $x=2$x=2：$[-1,2]$[−1,2] 上是 $x$x 轴上方的三角形，两条直角边都是 3，面积 $\frac92$29​；$[2,4]$[2,4] 上是下方的三角形，直角边都是 2，面积 2。积分 $=\frac92-2=\frac52$=29​−2=25​；题目问的若是围成的面积，才是 $\frac92+2=\frac{13}{2}$29​+2=213​。

什么时候不能用：根号里配不成 $r^2-(x-a)^2$r2−(x−a)2 时不能当圆，比如 $\sqrt{1+x^2}$1+x2​ 的图形不是圆弧；图形是抛物线这类曲线时（如 $y=x^2$y=x2），没有现成的面积公式，只能求原函数。

快解三：奇偶性与对称区间

看到什么就用：积分区间是 $[-a,a]$[−a,a]，被积函数是几项的和，其中有 $x$x 的奇次幂、$\sin x$sinx，或它们与偶函数的乘积。

三步（第 22 节的口径）：

1. 确认积分区间关于原点对称。
2. 按项判奇偶：奇乘偶为奇，奇乘奇为偶。
3. 奇函数那一项积分为 0，偶函数那一项化成 $2\int_0^a$2∫0a​，剩下的接着算，能用几何意义就接快解二。

一句话模板：「区间对称；___ 是奇函数，积分为 0；___ 是偶函数，化成 $2\int_0^a$2∫0a​ 再算，得 ___。」

示范：$\int_{-2}^{2}(x+1)\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x$∫−22​(x+1)4−x2​dx。拆成两项：$x\sqrt{4-x^2}$x4−x2​ 是奇函数，积分为 0；$\sqrt{4-x^2}$4−x2​ 是偶函数，接快解二，它在 $[-2,2]$[−2,2] 上是半径为 2 的整个上半圆，面积 $\frac12\pi\times2^2=2\pi$21​π×22=2π。所以结果是 $2\pi$2π。

什么时候不能用：区间不对称时不能直接用，要先拆出对称的一段，如 $\int_{-1}^{3}x^3\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}x^3\,\mathrm{d}x+\int_1^3x^3\,\mathrm{d}x=0+20=20$∫−13​x3dx=∫−11​x3dx+∫13​x3dx=0+20=20；被积函数整体既不奇也不偶时，先拆成几项再逐项判。