离散型随机变量及其分布

本节导读

前面几节讨论的事件，大多是用文字描述的结果。为了便于计算，数学上把试验结果用数来表示，这就是随机变量：比如抽检 3 件产品中的次品数，射击 5 次的命中次数。取值是有限个或可以一个个列出来的随机变量叫离散型随机变量，它的概率规律用分布列来描述。

在试卷里，这一节是概率论里的重点：常考由分布列的性质求参数、求事件的概率，以及二项分布概率的计算。学完这一节，你应该能写出分布列，会用「概率之和为 1」做检验，并会用二项分布公式计算。

离散型随机变量与分布列

随机变量与分布列

随机变量是定义在样本空间上、取实数值的变量，常用大写字母 $X$X、$Y$Y 表示。如果它只可能取有限个值或可数无穷多个值，就叫离散型随机变量。设 $X$X 的所有可能取值为 $x_1,x_2,\cdots$x1​,x2​,⋯，取各个值的概率为

$$P(X=x_k)=p_k\quad(k=1,2,\cdots)$$P(X=xk​)=pk​(k=1,2,⋯)

把它们列成表就是分布列：

$X$X	$x_1$x1​	$x_2$x2​	$\cdots$⋯	$x_n$xn​
$P$P	$p_1$p1​	$p_2$p2​	$\cdots$⋯	$p_n$pn​

分布列的两条性质

分布列必须满足：（1）$p_k\ge0$pk​≥0；（2）$p_1+p_2+\cdots=1$p1​+p2​+⋯=1。

这两条性质有两个用途：由第二条求分布列中的未知参数；检验算出的分布列是否正确，概率之和不是 1 就一定有错。

事件的概率等于它包含的所有取值的概率之和。例如 $P(X=1)=0.2$P(X=1)=0.2，$P(X=2)=a$P(X=2)=a，$P(X=3)=0.5$P(X=3)=0.5，则由 $0.2+a+0.5=1$0.2+a+0.5=1 得 $a=0.3$a=0.3，而 $P(X\ge2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8$P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8。

两点分布与二项分布

两点分布

如果 $X$X 只取 0 和 1 两个值，并且

$$P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p\quad(0\lt p\lt1)$$P(X=1)=p,P(X=0)=1−p(0<p<1)

就说 $X$X 服从两点分布（也叫 0-1 分布）。例如抽检一件产品，合格记为 1，不合格记为 0，就是两点分布。

二项分布

把同一个试验在相同条件下独立地重复做 $n$n 次，每次只有「成功」和「失败」两种结果，且每次成功的概率都是 $p$p，这样的 $n$n 次试验叫 $n$n 重伯努利试验。设 $X$X 表示成功的次数，则 $X$X 服从二项分布，记作 $X\sim B(n,p)$X∼B(n,p)，它的概率公式是

$$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,2,\cdots,n$$P(X=k)=Cnk​pk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯,n

当 $n=1$n=1 时就是两点分布。例如投篮命中率 0.6，独立投 3 次，$X$X 为命中次数：$P(X=2)=C_3^2\times0.6^2\times0.4=3\times0.36\times0.4=0.432$P(X=2)=C32​×0.62×0.4=3×0.36×0.4=0.432；至少命中一次的概率用逆事件：$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0.4^3=0.936$P(X≥1)=1−P(X=0)=1−0.43=0.936。

又如 $X\sim B(3,0.5)$X∼B(3,0.5)，则 $P(X=0)=\frac{1}{8}$P(X=0)=81​，$P(X=1)=\frac{3}{8}$P(X=1)=83​，$P(X=2)=\frac{3}{8}$P(X=2)=83​，$P(X=3)=\frac{1}{8}$P(X=3)=81​，这四个概率之和为 1。