第一类换元积分法（凑微分法）

本节导读

基本积分公式只能算 $\int e^{x}\,\mathrm{d}x$∫exdx、$\int\cos x\,\mathrm{d}x$∫cosxdx 这类最简单的积分。遇到 $\int e^{3x}\,\mathrm{d}x$∫e3xdx、$\int xe^{x^2}\,\mathrm{d}x$∫xex2dx 就不能直接套公式了，要用换元积分法。第一类换元积分法又叫凑微分法，是复合函数求导法则的逆用，是不定积分里最常用的方法。

学完这一节，你应该能判断一个积分能不能凑微分，会熟练使用常用的凑微分公式，并能在换元后正确回代。

第一类换元积分法的思路

基本原理

复合函数求导是 $[F(\varphi(x))]'=F'(\varphi(x))\,\varphi'(x)$[F(φ(x))]′=F′(φ(x))φ′(x)。把它倒过来：如果 $F'(u)=f(u)$F′(u)=f(u)，那么

$$\int f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u=F(u)+C=F(\varphi(x))+C$$∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C=F(φ(x))+C

关键是把被积表达式中的 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$φ′(x)dx 凑成 $\mathrm{d}\varphi(x)$dφ(x)，也就是 $\mathrm{d}u$du。

三个步骤

具体做题时分三步：

• 第一步「凑」：找出被积函数中的内层函数 $u=\varphi(x)$u=φ(x)，把剩下的因式凑成 $\mathrm{d}u$du；
• 第二步「换」：把整个积分写成关于 $u$u 的积分，用基本公式积出来；
• 第三步「回」：把 $u$u 换回 $\varphi(x)$φ(x)，再加上常数 $C$C。

例如 $\int(2x+1)^5\,\mathrm{d}x$∫(2x+1)5dx：令 $u=2x+1$u=2x+1，则 $\mathrm{d}u=2\,\mathrm{d}x$du=2dx，即 $\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}u$dx=21​du。所以原式 $=\frac{1}{2}\int u^5\,\mathrm{d}u=\frac{u^6}{12}+C=\frac{(2x+1)^6}{12}+C$=21​∫u5du=12u6​+C=12(2x+1)6​+C。

常用的凑微分公式

下面这些关系要熟记，每一行左边是被积表达式里常见的「一段」，右边是凑成的微分。检验的办法是把右边展开，看是否等于左边。

凑微分	说明
$\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\mathrm{d}(ax+b)$dx=a1​d(ax+b)	线性内层，$a\ne0$a=0
$x\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\mathrm{d}(x^2)$xdx=21​d(x2)	因为 $\mathrm{d}(x^2)=2x\,\mathrm{d}x$d(x2)=2xdx
$\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\ln x)$x1​dx=d(lnx)	对数
$e^{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}(e^{x})$exdx=d(ex)	指数
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\,\mathrm{d}(\sqrt{x})$x​1​dx=2d(x​)	根式

三角函数及其他的凑微分公式如下：

凑微分	说明
$\cos x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x)$cosxdx=d(sinx)	余弦
$\sin x\,\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\cos x)$sinxdx=−d(cosx)	正弦，注意负号
$\sec^2x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\tan x)$sec2xdx=d(tanx)	正切
$\dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\mathrm{d}\left(\dfrac{1}{x}\right)$x21​dx=−d(x1​)	负号别漏
$\dfrac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\arctan x)$1+x21​dx=d(arctanx)	反正切

典型题型

内层是线性函数 $ax+b$ax+b

这是最简单的一类，结果可以直接写：$\int f(ax+b)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$∫f(ax+b)dx=a1​F(ax+b)+C。例如：

$$\int e^{3x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}e^{3x}+C,\quad \int\cos2x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sin2x+C,\quad \int\frac{1}{3x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\ln\lvert3x+2\rvert+C$$∫e3xdx=31​e3x+C,∫cos2xdx=21​sin2x+C,∫3x+21​dx=31​ln∣3x+2∣+C

被积函数里「自带」内层函数的导数

如果被积函数里同时出现一个函数和它的导数（相差常数倍），就把导数部分凑成微分。例如：

$$\int xe^{x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}e^{x^2}+C,\qquad \int\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{(\ln x)^2}{2}+C,\qquad \int\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$$∫xex2dx=21​ex2+C,∫xlnx​dx=2(lnx)2​+C,∫1+x2x​dx=21​ln(1+x2)+C