最大值最小值与应用题

本节导读

上一节求的极值是「局部最高点、最低点」，而在生产和生活里更常问的是「整体最大」「整体最小」：利润最大是多少，用料最省怎么做。这就是最大值、最小值问题，它是导数应用里常见的综合题型，常以解答题的形式出现。

学完这一节，你应该能求闭区间上函数的最值，会把一个应用题抽象成函数、求导、作答，并掌握经济问题中「边际收益等于边际成本」的结论。

闭区间上的最值

求法

闭区间 $[a,b]$[a,b] 上的连续函数一定有最大值和最小值。它们只可能出现在三类点：区间内部的驻点、导数不存在的点，以及两个端点。因此步骤是：

• 第一步，求 $f'(x)$f′(x)，找出 $(a,b)$(a,b) 内的驻点和导数不存在的点；
• 第二步，算出这些点和端点 $a$a、$b$b 处的函数值；
• 第三步，比较这些函数值，最大的是最大值，最小的是最小值。

注意最值和极值不同：极值是局部的，最值是整体的，而且最值可以在端点取得。

一个例子

求 $f(x)=x^3-3x+1$f(x)=x3−3x+1 在 $[0,2]$[0,2] 上的最大值和最小值。$f'(x)=3x^2-3$f′(x)=3x2−3，令其为 0 得 $x=\pm1$x=±1，只有 $x=1$x=1 在区间内。比较三个函数值：$f(0)=1$f(0)=1，$f(1)=-1$f(1)=−1，$f(2)=3$f(2)=3。所以最大值是 $f(2)=3$f(2)=3，最小值是 $f(1)=-1$f(1)=−1。

实际问题中的最值

解题步骤

应用题的难点在列函数。可以按下面四步走：

• 第一步，设自变量，把要求最值的量写成这个自变量的函数，并写出定义域；
• 第二步，求导并令导数为 0，得到驻点；
• 第三步，判断：如果函数在定义域内只有一个驻点，而问题的实际意义表明最值一定存在，那么这个驻点就是所求的最值点，不需要再判断；
• 第四步，回到题目作答，写上单位。

几何例子

用 40 米长的篱笆围成一个矩形场地，长和宽各取多少时面积最大？设宽为 $x$x 米，则长为 $(20-x)$(20−x) 米，面积 $S=x(20-x)$S=x(20−x)，$0\lt x\lt20$0<x<20。$S'=20-2x$S′=20−2x，令 $S'=0$S′=0 得 $x=10$x=10，这是唯一的驻点。因为实际问题的最大面积一定存在，所以长、宽都取 10 米（正方形）时面积最大，最大面积是 $100$100 平方米。

经济应用：利润最大与成本最低

设产量（销量）为 $q$q，收益函数 $R(q)$R(q)，成本函数 $C(q)$C(q)，则利润函数是 $L(q)=R(q)-C(q)$L(q)=R(q)−C(q)。$R'(q)$R′(q) 叫边际收益，$C'(q)$C′(q) 叫边际成本。

利润最大的必要条件是 $L'(q)=0$L′(q)=0，即 $R'(q)=C'(q)$R′(q)=C′(q)：边际收益等于边际成本。平均成本 $\overline{C}(q)=\frac{C(q)}{q}$C(q)=qC(q)​ 最低时，则有 $\overline{C}\,'(q)=0$C′(q)=0，也就是 $C'(q)=\frac{C(q)}{q}$C′(q)=qC(q)​：边际成本等于平均成本。

例如单价 $p=100-q$p=100−q，成本 $C(q)=20q+500$C(q)=20q+500。收益 $R=q(100-q)=100q-q^2$R=q(100−q)=100q−q2，利润 $L=80q-q^2-500$L=80q−q2−500。$L'=80-2q=0$L′=80−2q=0 得 $q=40$q=40，又 $L''=-2\lt0$L′′=−2<0，所以 $q=40$q=40 时利润最大，$L(40)=3200-1600-500=1100$L(40)=3200−1600−500=1100。