定积分的概念与性质

本节导读

不定积分得到的是一族函数，定积分得到的是一个数，它最直观的含义是曲边图形的面积。定积分在经济和管理里也有用武之地，比如已知边际成本，可以用定积分求总成本的增加量。

在试卷里，这一节常以选择题、填空题的形式出现：利用几何意义直接写出积分值，比较两个积分的大小，或估计积分值所在的范围。学完这一节，你应该能说清定积分的含义，会利用性质做小题，并为下一节的牛顿-莱布尼茨公式打基础。

定积分的概念

从曲边梯形的面积说起

设 $f(x)\ge0$f(x)≥0，求由曲线 $y=f(x)$y=f(x)、直线 $x=a$x=a、$x=b$x=b 与 $x$x 轴围成的曲边梯形的面积，分四步做：把 $[a,b]$[a,b] 分成 $n$n 个小区间；在每个小区间上用小矩形的面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$f(ξi​)Δxi​ 近似小曲边梯形的面积；把 $n$n 个小矩形的面积加起来；让所有小区间的长度趋于 0 取极限。这个极限就是定积分的定义：

$$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\,\Delta x_i$$∫ab​f(x)dx=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​

其中 $a$a 叫下限，$b$b 叫上限，$[a,b]$[a,b] 叫积分区间。

三点说明

关于定积分，要记住下面三点：

• 定积分是一个数，只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母无关：$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bf(t)\,\mathrm{d}t$∫ab​f(x)dx=∫ab​f(t)dt。
• 在闭区间上连续的函数一定可积。
• 规定 $\int_a^af(x)\,\mathrm{d}x=0$∫aa​f(x)dx=0，$\int_b^af(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$∫ba​f(x)dx=−∫ab​f(x)dx（上下限互换，符号改变）。

定积分的几何意义

当 $f(x)\ge0$f(x)≥0 时，$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$∫ab​f(x)dx 就是曲边梯形的面积；当 $f(x)\le0$f(x)≤0 时，曲边梯形在 $x$x 轴下方，积分值是面积的相反数；一般情况下，积分值等于 $x$x 轴上方图形的面积减去 $x$x 轴下方图形的面积（面积的代数和）。

利用几何意义，有些积分不用计算就能写出结果：

$$\int_0^1x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ (\text{直角三角形}),\qquad \int_0^2\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x=\pi\ (\text{四分之一圆}),\qquad \int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x=0\ (\text{上下抵消})$$∫01​xdx=21​ (直角三角形),∫02​4−x2​dx=π (四分之一圆),∫−11​xdx=0 (上下抵消)

定积分的性质

设 $f(x)$f(x)、$g(x)$g(x) 在 $[a,b]$[a,b] 上可积，下面是前四条性质：

性质	内容
线性	$\int_a^b[kf(x)\pm lg(x)]\,\mathrm{d}x=k\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\pm l\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x$∫ab​[kf(x)±lg(x)]dx=k∫ab​f(x)dx±l∫ab​g(x)dx
区间可加性	$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\mathrm{d}x$∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx
常数 1	$\int_a^b1\,\mathrm{d}x=b-a$∫ab​1dx=b−a
保号性	若 $f(x)\ge0$f(x)≥0（$a\lt b$a<b），则 $\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\ge0$∫ab​f(x)dx≥0

接下来的几条常用于比较和估值，下面都假设 $a\lt b$a<b：

性质	内容
比较	若 $f(x)\le g(x)$f(x)≤g(x)，则 $\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\le\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x$∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx
估值	若 $m\le f(x)\le M$m≤f(x)≤M，则 $m(b-a)\le\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\le M(b-a)$m(b−a)≤∫ab​f(x)dx≤M(b−a)
中值定理（了解）	$f(x)$f(x) 连续时，存在 $\xi\in[a,b]$ξ∈[a,b]，使 $\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)$∫ab​f(x)dx=f(ξ)(b−a)