数学期望与方差

本节导读

分布列完整地描述了一个随机变量，但有时我们只想知道几个简单的数：平均下来是多少，数据波动有多大。数学期望刻画随机变量取值的平均水平，方差刻画取值偏离平均水平的程度。它们是概率论初步的最后一块内容，在经济和管理问题里常用来比较方案的收益与风险。

在试卷里，这一节常考：根据分布列求期望和方差，用二项分布的公式直接写结果，以及用期望与方差的性质做变换。学完这一节，你应该能熟练使用定义和公式，并能算出收益问题的期望。

数学期望

定义

设离散型随机变量 $X$X 的分布列为 $P(X=x_k)=p_k$P(X=xk​)=pk​，则它的数学期望（简称期望、均值）是

$$E(X)=\sum_kx_kp_k$$E(X)=k∑​xk​pk​

它是以概率为权重的加权平均。例如 $X$X 取 0、1、2 的概率依次为 0.2、0.5、0.3，则 $E(X)=0\times0.2+1\times0.5+2\times0.3=1.1$E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1。

期望的实际意义是：把试验重复很多次，各次结果的平均值会接近期望。比如掷一颗骰子，出现 6 点得 12 元，否则输 2 元，则每玩一次的平均收益是 $12\times\frac{1}{6}+(-2)\times\frac{5}{6}=\frac{1}{3}$12×61​+(−2)×65​=31​ 元。

性质

设 $a$a、$b$b、$c$c 是常数，则有 $E(c)=c$E(c)=c，$E(aX+b)=aE(X)+b$E(aX+b)=aE(X)+b，$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$E(X+Y)=E(X)+E(Y)。后一条对任意两个随机变量都成立，不需要独立。

方差与标准差

定义与简化公式

方差描述取值偏离期望的平均程度，定义为

$$D(X)=E\big[(X-E(X))^2\big]$$D(X)=E[(X−E(X))2]

计算时更常用简化公式：

$$D(X)=E(X^2)-\big[E(X)\big]^2$$D(X)=E(X2)−[E(X)]2

其中 $E(X^2)=\sum_kx_k^2p_k$E(X2)=∑k​xk2​pk​。方差的算术平方根 $\sigma=\sqrt{D(X)}$σ=D(X)​ 叫标准差。方差总是非负的，方差越大，取值越分散。

接着前面的例子：$E(X^2)=0^2\times0.2+1^2\times0.5+2^2\times0.3=1.7$E(X2)=02×0.2+12×0.5+22×0.3=1.7，所以 $D(X)=1.7-1.1^2=1.7-1.21=0.49$D(X)=1.7−1.12=1.7−1.21=0.49，标准差 $\sigma=0.7$σ=0.7。

性质

方差的性质有 $D(c)=0$D(c)=0，$D(aX+b)=a^2D(X)$D(aX+b)=a2D(X)。注意：常数 $b$b 不影响方差，系数 $a$a 要平方。

常见分布的期望与方差

两点分布和二项分布的结果要熟记，可以直接使用：

分布	期望 $E(X)$E(X)	方差 $D(X)$D(X)
两点分布（$P(X=1)=p$P(X=1)=p）	$p$p	$p(1-p)$p(1−p)
二项分布 $B(n,p)$B(n,p)	$np$np	$np(1-p)$np(1−p)

例如 $X\sim B(10,0.3)$X∼B(10,0.3)，则 $E(X)=10\times0.3=3$E(X)=10×0.3=3，$D(X)=10\times0.3\times0.7=2.1$D(X)=10×0.3×0.7=2.1。