高阶导数与微分

本节导读

导数 $f'(x)$f′(x) 本身还是一个函数，可以继续求导。导数的导数叫二阶导数，下一章判断曲线的凹凸、求极值都要用到它。此外，这一节还要学微分：它是用线性部分近似函数增量的方法，在试卷里常以「求 $dy$dy」或「求近似值」的形式出现。

学完这一节，你应该能熟练求二阶导数，会写出函数的微分，并能用微分估算一个数的近似值。

高阶导数

二阶导数

对 $y=f(x)$y=f(x) 先求导得 $y'$y′，再对 $y'$y′ 求导，所得结果叫二阶导数，记作 $y''$y′′、$f''(x)$f′′(x) 或 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$dx2d2y​。依此类推可以定义三阶、四阶乃至 $n$n 阶导数，统称高阶导数，$n$n 阶导数记作 $y^{(n)}$y(n)。

从物理上看，位移 $s(t)$s(t) 的一阶导数是速度，二阶导数是加速度。求二阶导数没有新的公式，就是连续求两次导，每求一次先化简再求下一次。

常用的二阶导数

下面的结果可以直接使用，$k$k、$n$n 是常数：

函数	二阶导数
$x^{n}$xn	$n(n-1)x^{n-2}$n(n−1)xn−2
$e^{kx}$ekx	$k^2e^{kx}$k2ekx
$\sin x$sinx	$-\sin x$−sinx
$\cos x$cosx	$-\cos x$−cosx
$\ln x$lnx	$-\dfrac{1}{x^2}$−x21​
$\dfrac{1}{x}$x1​	$\dfrac{2}{x^3}$x32​

几个简单的 $n$n 阶导数规律：$(e^{x})^{(n)}=e^{x}$(ex)(n)=ex，$(e^{kx})^{(n)}=k^ne^{kx}$(ekx)(n)=knekx，$(x^n)^{(n)}=n!$(xn)(n)=n!，而 $x^n$xn 的 $n+1$n+1 阶导数是 0。

微分

微分的概念

当自变量有一个很小的改变量 $\Delta x$Δx 时，函数的改变量是 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$Δy=f(x+Δx)−f(x)。如果 $\Delta y$Δy 可以写成 $A\,\Delta x+o(\Delta x)$AΔx+o(Δx) 的形式，就说函数可微，其中的线性主要部分 $A\,\Delta x$AΔx 叫做微分，记作 $\mathrm{d}y$dy。

对一元函数来说，可微和可导是等价的，并且 $A=f'(x)$A=f′(x)。规定 $\mathrm{d}x=\Delta x$dx=Δx，于是

$$\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x$$dy=f′(x)dx

几何上，$\Delta y$Δy 是曲线纵坐标的增量，$\mathrm{d}y$dy 是切线纵坐标的增量；$\lvert\Delta x\rvert$∣Δx∣ 很小时，两者很接近。

微分的计算

求微分只需要先求导数，再乘上 $\mathrm{d}x$dx。常见的几个结果如下：

函数	微分
$y=x^{3}$y=x3	$\mathrm{d}y=3x^2\,\mathrm{d}x$dy=3x2dx
$y=\sin2x$y=sin2x	$\mathrm{d}y=2\cos2x\,\mathrm{d}x$dy=2cos2xdx
$y=\ln x$y=lnx	$\mathrm{d}y=\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$dy=x1​dx
$y=e^{x^2}$y=ex2	$\mathrm{d}y=2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x$dy=2xex2dx

用微分做近似计算

$\lvert\Delta x\rvert$∣Δx∣ 很小时，$\Delta y\approx\mathrm{d}y$Δy≈dy，于是有近似公式