函数的概念与基本初等函数

本节导读

函数是整门课的地基：极限、导数、积分研究的全是函数。这一节把初中、高中学过的函数知识重新梳理一遍，重点是后面会反复用到的几件事：求定义域、认清基本初等函数、把复合函数拆开、判断奇偶性。

在试卷里，这部分很少单独出大题，多以选择题或填空题的形式出现，比如「求函数的定义域」「已知 $f(x)$f(x) 求 $f(g(x))$f(g(x))」「判断函数的奇偶性」。学完这一节，你应该能熟练求常见函数的定义域，会代入求复合函数，会求简单函数的反函数。

函数与定义域

函数的两个要素

设 $x$x 与 $y$y 是两个变量，对于 $x$x 在数集 $D$D 内的每一个取值，按照某个对应法则 $f$f，$y$y 都有唯一确定的值与它对应，就说 $y$y 是 $x$x 的函数，记作 $y=f(x)$y=f(x)。$D$D 叫定义域。

决定一个函数的是定义域和对应法则这两个要素，两个函数只有这两点都相同才算同一个函数。比如 $y=\ln x^2$y=lnx2 与 $y=2\ln x$y=2lnx 的对应法则看起来一样，但前者定义域是 $x\ne0$x=0，后者是 $x\gt0$x>0，所以是两个不同的函数。

求定义域的常用条件

求由式子给出的函数的定义域，就是找出使式子有意义的全部 $x$x。常见的限制条件如下：

式子里出现	要求
分式 $\frac{1}{g(x)}$g(x)1​	$g(x)\ne0$g(x)=0
偶次根式 $\sqrt{g(x)}$g(x)​	$g(x)\ge0$g(x)≥0
对数 $\ln g(x)$lng(x)	$g(x)\gt0$g(x)>0
正切 $\tan x$tanx	$x\ne k\pi+\frac{\pi}{2}$x=kπ+2π​（$k$k 为整数）
$\arcsin x$arcsinx、$\arccos x$arccosx	$-1\le x\le1$−1≤x≤1

几种限制同时出现时，把各个条件的解取交集。

基本初等函数

六类基本初等函数

常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称基本初等函数。前四类的定义域与值域如下：

函数	表达式	定义域	值域
常函数	$y=C$y=C	$(-\infty,+\infty)$(−∞,+∞)	只有一个值 $C$C
幂函数	$y=x^{a}$y=xa	随 $a$a 而定	随 $a$a 而定
指数函数	$y=a^{x}$y=ax（$a\gt0$a>0 且 $a\ne1$a=1）	$(-\infty,+\infty)$(−∞,+∞)	$(0,+\infty)$(0,+∞)
对数函数	$y=\log_a x$y=loga​x（$a\gt0$a>0 且 $a\ne1$a=1）	$(0,+\infty)$(0,+∞)	$(-\infty,+\infty)$(−∞,+∞)

三角函数和反三角函数的定义域、值域如下，其中 $\sin x$sinx、$\cos x$cosx 的周期是 $2\pi$2π，$\tan x$tanx 的周期是 $\pi$π：

函数	定义域	值域
$y=\sin x$y=sinx、$y=\cos x$y=cosx	$(-\infty,+\infty)$(−∞,+∞)	$[-1,1]$[−1,1]
$y=\tan x$y=tanx	$x\ne k\pi+\frac{\pi}{2}$x=kπ+2π​	$(-\infty,+\infty)$(−∞,+∞)
$y=\arcsin x$y=arcsinx	$[-1,1]$[−1,1]	$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$[−2π​,2π​]
$y=\arccos x$y=arccosx	$[-1,1]$[−1,1]	$[0,\pi]$[0,π]
$y=\arctan x$y=arctanx	$(-\infty,+\infty)$(−∞,+∞)	$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$(−2π​,2π​)

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合得到的、能用一个式子表示的函数叫初等函数。

复合、分段、反函数与奇偶性

复合函数

设 $y=f(u)$y=f(u)，$u=\varphi(x)$u=φ(x)，把 $u$u 代入得 $y=f(\varphi(x))$y=f(φ(x))，这就是复合函数。先算里层再算外层，顺序不同结果不同。比如 $f(x)=x^2+1$f(x)=x2+1，$\varphi(x)=\sin x$φ(x)=sinx，则 $f(\varphi(x))=\sin^2x+1$f(φ(x))=sin2x+1，而 $\varphi(f(x))=\sin(x^2+1)$φ(f(x))=sin(x2+1)。

后面求导要把复合函数一层层拆开，例如 $y=e^{\sin 2x}$y=esin2x 可以拆成 $y=e^{u}$y=eu，$u=\sin v$u=sinv，$v=2x$v=2x。

分段函数

在定义域的不同部分用不同式子表示的函数叫分段函数，它仍然是一个函数。求函数值时，先看自变量落在哪一段，再用那一段的式子。例如

$$f(x)=\begin{cases}x+1, & x\lt0\\ x^2, & x\ge0\end{cases}$$f(x)={x+1,x2,​x<0x≥0​

则 $f(-2)=-2+1=-1$f(−2)=−2+1=−1，$f(3)=3^2=9$f(3)=32=9，$f(0)=0^2=0$f(0)=02=0。

反函数

$y=f(x)$y=f(x) 的反函数记作 $y=f^{-1}(x)$y=f−1(x)。求法分两步：从 $y=f(x)$y=f(x) 中解出 $x$x，再把 $x$x 和 $y$y 互换。例如 $y=3x-2$y=3x−2 解出 $x=\frac{y+2}{3}$x=3y+2​，互换得反函数 $y=\frac{x+2}{3}$y=3x+2​。

反函数的定义域是原函数的值域，两个函数的图像关于直线 $y=x$y=x 对称。指数函数与对数函数互为反函数：$y=e^{x}$y=ex 的反函数是 $y=\ln x$y=lnx。

函数的奇偶性

若对定义域内的任意 $x$x 都有 $f(-x)=f(x)$f(−x)=f(x)，则 $f(x)$f(x) 是偶函数，图像关于 $y$y 轴对称，如 $x^2$x2、$\cos x$cosx。若 $f(-x)=-f(x)$f(−x)=−f(x)，则是奇函数，图像关于原点对称，如 $x^3$x3、$\sin x$sinx、$\tan x$tanx。

判断口诀：奇乘奇为偶，偶乘偶为偶，奇乘偶为奇。这条结论在第六章计算对称区间上的定积分时会直接用到。

易错提醒

• ❌ 求 $\ln(x-2)$ln(x−2) 的定义域时写成 $x\ge2$x≥2。✅ 对数的真数必须大于 0，应是 $x\gt2$x>2，真数不能等于 0。

• ❌ 把 $\sqrt{x^2}$x2​ 直接化成 $x$x。✅ 应是 $\lvert x\rvert$∣x∣，只有 $x\ge0$x≥0 时才等于 $x$x。

• ❌ 认为 $f(g(x))$f(g(x)) 与 $g(f(x))$g(f(x)) 总是相等。✅ 复合有先后，一般不相等。

• ❌ 求反函数时解出 $x$x 后忘了互换 $x$x、$y$y，或者忘记写反函数的定义域。✅ 解出后要把 $x$x、$y$y 互换，反函数的定义域就是原函数的值域。

• ❌ 以为 $y=x^2$y=x2 在整个实数范围内有反函数。✅ 它不是一一对应的，只有限制在 $x\ge0$x≥0 时才有反函数 $y=\sqrt{x}$y=x​。

例题精讲

例题 1

求函数 $y=\sqrt{x-1}+\ln(4-x)$y=x−1​+ln(4−x) 的定义域。

答案：$[1,4)$[1,4)

解析：根式要求 $x-1\ge0$x−1≥0，即 $x\ge1$x≥1；对数要求 $4-x\gt0$4−x>0，即 $x\lt4$x<4。取交集得 $1\le x\lt4$1≤x<4，定义域是 $[1,4)$[1,4)。

例题 2

设 $f(x)=2x+1$f(x)=2x+1，$g(x)=x^2$g(x)=x2，求 $f(g(x))$f(g(x)) 和 $g(f(x))$g(f(x))。

答案：$f(g(x))=2x^2+1$f(g(x))=2x2+1；$g(f(x))=4x^2+4x+1$g(f(x))=4x2+4x+1

解析：$f(g(x))$f(g(x)) 是把 $g(x)=x^2$g(x)=x2 代入 $f$f 的自变量位置，得 $2x^2+1$2x2+1。$g(f(x))$g(f(x)) 是把 $f(x)=2x+1$f(x)=2x+1 代入 $g$g，得 $(2x+1)^2=4x^2+4x+1$(2x+1)2=4x2+4x+1。两者不相等。

例题 3

求函数 $y=e^{x}+1$y=ex+1 的反函数。

答案：$y=\ln(x-1)$y=ln(x−1)，定义域 $x\gt1$x>1

解析：由 $y=e^{x}+1$y=ex+1 得 $e^{x}=y-1$ex=y−1，两边取对数得 $x=\ln(y-1)$x=ln(y−1)。互换 $x$x、$y$y 得反函数 $y=\ln(x-1)$y=ln(x−1)。原函数的值域是 $(1,+\infty)$(1,+∞)，所以反函数的定义域是 $x\gt1$x>1。

本节小结

• 函数由定义域和对应法则决定；求定义域要同时考虑分母、偶次根式、对数的限制，再取交集。
• 基本初等函数有六类，要熟记指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的定义域和值域。
• 复合函数要分清里外层，求导时需要一层层拆开；分段函数求值先判断自变量所在的段。
• 反函数的求法是解出 $x$x 再互换 $x$x、$y$y，定义域与值域对调。
• 奇函数、偶函数的判断用 $f(-x)$f(−x) 与 $f(x)$f(x) 比较，奇乘奇为偶。