第二类换元积分法

本节导读

上一节的凑微分法，是把被积函数里已有的一块「凑」成微分。可是遇到 $\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$∫1+x​1​dx 这样含根号的积分，被积函数里没有现成的导数可凑，这时要反过来：设 $x$x 是新变量 $t$t 的函数，把根号去掉，这就是第二类换元积分法。

在试卷里，这部分以简单的根式代换为主，常出现在选择题、填空题或解答题的一个步骤里；三角代换了解即可，具体要求以当年大纲为准。学完这一节，你应该会用 $t=\sqrt{ax+b}$t=ax+b​ 去根号，并记得积分后回代。

第二类换元积分法的思路

基本原理

令 $x=\varphi(t)$x=φ(t)，其中 $\varphi(t)$φ(t) 单调可导且 $\varphi'(t)\ne0$φ′(t)=0，则 $\mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$dx=φ′(t)dt，于是

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t=G(t)+C=G\big(\varphi^{-1}(x)\big)+C$$∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ′(t)dt=G(t)+C=G(φ−1(x))+C

最后一步回代很关键：积分是对 $t$t 做的，结果必须用反函数 $t=\varphi^{-1}(x)$t=φ−1(x) 换回 $x$x 的式子。

与第一类换元的区别

两类换元的对比如下：

对比项	第一类（凑微分）	第二类（设 $x=\varphi(t)$x=φ(t)）
做法	把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$φ′(x)dx 凑成 $\mathrm{d}u$du	令 $x=\varphi(t)$x=φ(t)，计算 $\mathrm{d}x$dx
目的	化成基本积分公式	去掉根号等难处理的部分
结尾	回代 $u=\varphi(x)$u=φ(x)	回代 $t=\varphi^{-1}(x)$t=φ−1(x)

根式代换

被积函数含 $\sqrt{x}$x​ 或 $\sqrt{ax+b}$ax+b​ 时，令 $t$t 等于这个根式，则 $x$x 可以用 $t$t 的多项式表示，根号就没有了。注意要同时换掉 $\mathrm{d}x$dx。

例如 $\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$∫1+x​1​dx：令 $t=\sqrt{x}$t=x​，则 $x=t^2$x=t2，$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$dx=2tdt。

$$\int\frac{2t}{1+t}\,\mathrm{d}t=2\int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t=2\big(t-\ln\lvert1+t\rvert\big)+C$$∫1+t2t​dt=2∫(1−1+t1​)dt=2(t−ln∣1+t∣)+C

回代 $t=\sqrt{x}$t=x​ 得 $2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C$2x​−2ln(1+x​)+C。

又如 $\int\frac{x}{\sqrt{x-1}}\,\mathrm{d}x$∫x−1​x​dx：令 $t=\sqrt{x-1}$t=x−1​，则 $x=t^2+1$x=t2+1，$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$dx=2tdt，原式 $=\int\frac{t^2+1}{t}\cdot2t\,\mathrm{d}t=2\int(t^2+1)\,\mathrm{d}t=\frac{2}{3}t^3+2t+C$=∫tt2+1​⋅2tdt=2∫(t2+1)dt=32​t3+2t+C，回代得 $\frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x-1}+C$32​(x−1)23​+2x−1​+C。

如果同时有 $\sqrt{x}$x​ 和 $\sqrt[3]{x}$3x​，令 $t=\sqrt[6]{x}$t=6x​（取根指数的最小公倍数）可以一次去掉两个根号。

三角代换（了解）

被积函数含 $\sqrt{a^2-x^2}$a2−x2​ 时，令 $x=a\sin t$x=asint（$-\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2}$−2π​≤t≤2π​），则 $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$a2−x2​=acost（这时 $\cos t\ge0$cost≥0），$\mathrm{d}x=a\cos t\,\mathrm{d}t$dx=acostdt。含其他形式根式的代换如下：

被积函数含有	令
$\sqrt{a^2-x^2}$a2−x2​	$x=a\sin t$x=asint
$\sqrt{a^2+x^2}$a2+x2​	$x=a\tan t$x=atant
$\sqrt{x^2-a^2}$x2−a2​	$x=a\sec t$x=asect