函数的连续性与间断点

本节导读

连续就是函数的图像在这一点「没有断开」。有了极限，这个直观的想法可以用一句话精确表达，而且后面的导数、积分都要在连续的前提下讨论。

在试卷里，这部分的考法比较固定：已知分段函数在分界点连续，求其中的参数；判断间断点并说出类型；用零点定理说明方程在某个区间内有根。学完这一节，你应该能熟练完成这三类题。

函数的连续性

在一点连续的定义

函数 $f(x)$f(x) 在点 $x_0$x0​ 处连续，需要同时满足三个条件：

• $f(x_0)$f(x0​) 有定义；
• $\lim_{x\to x_0}f(x)$limx→x0​​f(x) 存在；
• 极限值等于函数值，即 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$limx→x0​​f(x)=f(x0​)。

如果只从左边靠近时极限等于函数值，叫左连续；只从右边靠近时叫右连续。在一点连续等价于既左连续又右连续。函数在区间内每一点都连续，就说它在这个区间上连续。

分段函数在分界点的连续性

分段函数在分界点两侧的式子不同，要检查三个量：左极限、右极限和函数值，三者相等才连续。

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin 2x}{x}, & x\ne0\\ a, & x=0\end{cases}$$f(x)=⎩⎨⎧​xsin2x​,a,​x=0x=0​

当 $x\ne0$x=0 时，$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2$limx→0​xsin2x​=2。要使 $f(x)$f(x) 在 $x=0$x=0 处连续，必须 $a=f(0)=2$a=f(0)=2。

初等函数的连续性

基本初等函数在各自的定义域内都是连续的，由它们经四则运算和复合得到的初等函数，在其定义区间内也连续。因此，求初等函数在定义区间内某一点的极限，直接代入就行：$\lim_{x\to1}\ln(1+x^2)=\ln2$limx→1​ln(1+x2)=ln2。

间断点及其分类

函数在 $x_0$x0​ 处不连续，就说 $x_0$x0​ 是间断点。出现间断点有三种情形：函数在 $x_0$x0​ 处没有定义，或者极限不存在，或者极限存在但不等于函数值。按左右极限的情况，把间断点分成两类：

类型	判断方法	例子
可去间断点（第一类）	左右极限存在且相等，但在 $x_0$x0​ 处无定义或函数值不等于极限	$\dfrac{x^2-1}{x-1}$x−1x2−1​ 在 $x=1$x=1
跳跃间断点（第一类）	左右极限都存在但不相等	$\dfrac{\lvert x\rvert}{x}$x∣x∣​ 在 $x=0$x=0
第二类间断点	左右极限中至少有一个不存在	$\dfrac{1}{x}$x1​ 在 $x=0$x=0

第二类间断点里，极限为无穷大的叫无穷间断点，如 $\frac{1}{x}$x1​ 在 $x=0$x=0；来回摆动的叫振荡间断点，如 $\sin\frac{1}{x}$sinx1​ 在 $x=0$x=0。

找间断点的步骤：初等函数的间断点就是无定义的点，如分母为 0 的点；分段函数还要再检查分界点。找到后分别求左、右极限，再按上表判断类型。

闭区间上连续函数的性质

设 $f(x)$f(x) 在闭区间 $[a,b]$[a,b] 上连续，则有下面三条性质：

• 最值定理：$f(x)$f(x) 在 $[a,b]$[a,b] 上一定有最大值和最小值。
• 介值定理：$f(x)$f(x) 能取到最小值与最大值之间的任何值。
• 零点定理：如果 $f(a)f(b)\lt0$f(a)f(b)<0，那么在 $(a,b)$(a,b) 内至少有一点 $\xi$ξ，使 $f(\xi)=0$f(ξ)=0。

零点定理常用来说明方程有根。例如证明 $x^3+x-1=0$x3+x−1=0 在 $(0,1)$(0,1) 内至少有一个根：令 $f(x)=x^3+x-1$f(x)=x3+x−1，它在 $[0,1]$[0,1] 上连续，$f(0)=-1\lt0$f(0)=−1<0，$f(1)=1\gt0$f(1)=1>0，异号，所以在 $(0,1)$(0,1) 内至少有一个根。

易错提醒

• ❌ 认为只要 $f(x_0)$f(x0​) 有定义函数就在 $x_0$x0​ 连续。✅ 还要极限存在，并且极限等于 $f(x_0)$f(x0​)，三个条件缺一不可。

• ❌ 把 $\frac{x^2-1}{x-1}$x−1x2−1​ 在 $x=1$x=1 处的间断点说成第二类。✅ 它的左右极限都是 2，是可去间断点，属于第一类。

• ❌ 检查分段函数的连续性时只比较左右极限。✅ 还要看函数值，三者都相等才连续。

• ❌ 认为 $f(a)f(b)\gt0$f(a)f(b)>0 时区间内一定没有根。✅ 同号时零点定理不下结论，区间内可能有根，也可能没有。

• ❌ 对 $f(x)=\frac{1}{x}$f(x)=x1​ 在 $[-1,1]$[−1,1] 上用零点定理，因为 $f(-1)f(1)\lt0$f(−1)f(1)<0 就断言有根。✅ 函数在 $x=0$x=0 处间断，不满足「闭区间上连续」，实际上没有根。

例题精讲

例题 1

设 $f(x)=\begin{cases}x+2, & x\lt1\\ ax, & x\ge1\end{cases}$f(x)={x+2,ax,​x<1x≥1​ 在 $x=1$x=1 处连续，求 $a$a。

答案：$a=3$a=3

解析：左极限 $\lim_{x\to1^-}(x+2)=3$limx→1−​(x+2)=3，函数值 $f(1)=a\times1=a$f(1)=a×1=a，右极限 $\lim_{x\to1^+}ax=a$limx→1+​ax=a。连续要求左极限、右极限、函数值相等，所以 $a=3$a=3。

例题 2

指出 $f(x)=\dfrac{x-1}{x^2-3x+2}$f(x)=x2−3x+2x−1​ 的间断点，并判断类型。

答案：$x=1$x=1 是可去间断点，$x=2$x=2 是第二类（无穷）间断点

解析：分母 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$x2−3x+2=(x−1)(x−2)，在 $x=1$x=1 和 $x=2$x=2 处无定义，这两点是间断点。$x\ne1$x=1 时 $f(x)=\frac{1}{x-2}$f(x)=x−21​，$x\to1$x→1 时极限为 $-1$−1，左右极限存在且相等，是可去间断点。$x\to2$x→2 时 $\frac{1}{x-2}\to\infty$x−21​→∞，极限不存在，是第二类间断点。

例题 3

证明方程 $x^3+3x-4=0$x3+3x−4=0 在区间 $(0,2)$(0,2) 内至少有一个根。

答案：见解析

解析：令 $f(x)=x^3+3x-4$f(x)=x3+3x−4，它是多项式函数，在 $[0,2]$[0,2] 上连续。$f(0)=-4\lt0$f(0)=−4<0，$f(2)=8+6-4=10\gt0$f(2)=8+6−4=10>0，两端函数值异号，由零点定理，在 $(0,2)$(0,2) 内至少存在一点 $\xi$ξ，使 $f(\xi)=0$f(ξ)=0，即方程在 $(0,2)$(0,2) 内至少有一个根。

本节小结

• 函数在 $x_0$x0​ 连续，需要：$f(x_0)$f(x0​) 有定义、极限存在、极限等于函数值。
• 分段函数在分界点连续，等价于左极限、右极限、函数值三者相等，常用来求参数。
• 初等函数在其定义区间内连续，求这类函数的极限直接代入。
• 间断点分两类：第一类（可去、跳跃）左右极限都存在；第二类至少一侧极限不存在。
• 闭区间上连续函数有最值定理、介值定理，零点定理用于说明方程在区间内有根。