计算突破：积分的方法怎么选

本节导读

求积分的方法分散在主线五节里，分别见本课第 16 节《原函数与不定积分》（基本公式、直接积分）、第 17 节《第一类换元积分法（凑微分法）》、第 18 节《第二类换元积分法》（根式代换）、第 19 节《分部积分法》和第 22 节《定积分的换元法与分部积分法》（换限、边界项、奇偶性）。第 16 节导读说积分「在试卷里分量很重」，三种题型里都会出现。

单独做每一节的题不难，那一节讲什么方法就用什么方法；难的是拿到一个没写明方法的积分，不知道先凑微分还是先分部，或者一种方法用到一半卡住。这一节不讲新公式，只做两件事：按被积函数的长相排出选法的顺序，讲清每种方法容易错在哪；再用例题演示两种方法怎样接力，尤其是「先换元、再分部」。学完要做到：看长相选方法，选错了能换，定积分换元记得换限。

这一块在试卷里怎么考

按本课第 1 节《考试介绍与备考方法》给的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准），试卷有选择题 10 道、填空题 10 道，每道 4 分，解答题 7 至 8 题（各资料写法不一）合计 70 分。积分具体占多少分，各资料说法不一，这里不写死：选择题、填空题会问一个不定积分或定积分等于多少；解答题要写出换元或分部的选择，按步骤给分。

积分还会藏在别的题里：求平面图形的面积、旋转体的体积（第 23 节），变上限积分求导、求极限（第 21 节），最后都要算一个积分。容易丢分的有三处（第 16、17、19、22 节易错提醒，第 32 节易错点回顾）：凑微分时的系数、负号和积分常数；分部积分时 $u$u 与 $\mathrm{d}v$dv 的选法和公式里的符号；定积分换元时的积分限，以及奇偶性能不能用。

方法归纳

拿到积分题按下面的顺序问自己；「出处」是导读里列的主线课节，哪一步忘了就回去看。

步骤	问自己什么	怎么做	出处
⓪ 看区间	定积分的区间关于原点对称吗？	对称就先按奇偶拆开：奇函数部分为 0，偶函数部分化成 $2\int_0^a$2∫0a​	第 22 节
① 化简	能不能化成基本公式的和？	展开、拆项、用恒等式变形，逐项积分	第 16 节
② 凑微分	有没有一个函数和它的导数同时出现？	把导数那部分和 $\mathrm{d}x$dx 凑成 $\mathrm{d}u$du，套公式后回代	第 17 节
③ 换元或分部	含根式又凑不出？两类函数相乘？	根式令 $t=\sqrt{ax+b}$t=ax+b​；相乘按「反对幂指三」选 $u$u	第 18、19 节
④ 接力	换元后又是乘积？有上下限？	乘积接着分部；定积分换元同时换限、不回代，分部先算边界项	第 19、22 节

选哪种方法，先看被积函数的长相，常见的几类按下表选：

被积函数的样子	首选方法	这里要小心	出处
能展开的乘积、分子次数不低于分母的分式	展开或拆项，逐项积分	积分没有乘积法则；$\frac{1}{x^2}$x21​ 按幂函数积，不是对数	第 16 节
$f(ax+b)$f(ax+b)，内层是一次式	凑 $\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{d}(ax+b)$dx=a1​d(ax+b)	$a$a 是负数时负号一起带上	第 17 节
一个函数乘它的导数，或分子是分母的导数	凑微分；后者得 $\ln\lvert f(x)\rvert+C$ln∣f(x)∣+C	$x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2)$xdx=21​d(x2) 的 $\frac{1}{2}$21​ 别漏	第 17 节
含 $\sqrt{ax+b}$ax+b​，凑不出微分	令 $t=\sqrt{ax+b}$t=ax+b​	$\mathrm{d}x$dx 一起换，结果回代成 $x$x	第 18 节

样子特殊的几类各有固定的入口：

被积函数的样子	首选方法	这里要小心	出处
含 $\sqrt{a^2-x^2}$a2−x2​	三角代换 $x=a\sin t$x=asint（了解）	示范见第 18 节	第 18 节
幂函数乘 $e^{x}$ex、$\sin x$sinx、$\cos x$cosx	分部，$u$u 取幂函数	求 $v$v 时内层系数要除掉	第 19 节
幂函数乘 $\ln x$lnx、$\arctan x$arctanx	分部，$u$u 取对数或反三角	只有一个对数时整个 $\mathrm{d}x$dx 当 $\mathrm{d}v$dv（示范见第 19 节）	第 19 节
根号或复合函数里套着要分部的结构	先换元、再分部	换元后整理成「幂函数乘某函数」再选 $u$u	第 18、19 节

选法的总原则是「先化简、再凑微分，凑不出才换元或分部」：凑微分最省事，能凑就别分部；分部用在两类不同函数相乘，或者只有一个对数、反三角函数时；定积分先看区间，对称的先用奇偶性。每做完一个不定积分，都可以对结果求导，看能不能回到被积函数。

题型拆解

题型 1：化简后套公式或凑微分

识别特征：被积函数是能展开的乘积、能拆项的分式；或者里面同时有一个函数和它的导数（差常数倍），比如 $\cos x$cosx 配 $\sin x$sinx、$\frac{1}{x}$x1​ 配 $\ln x$lnx。

分步解法：先化简，把被积函数拆成幂函数、$\frac{1}{1+x^2}$1+x21​ 这类基本形式的和，逐项积分。化不成公式就找内层 $u$u，把剩下的因式凑成 $\mathrm{d}u$du，积完回代；内层是一次式 $ax+b$ax+b 时直接乘 $\frac{1}{a}$a1​。

常见陷阱：内层系数是负数时丢了负号。比如 $\int\sin(3-2x)\,\mathrm{d}x$∫sin(3−2x)dx，$\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\mathrm{d}(3-2x)$dx=−21​d(3−2x)，结果是 $\frac{1}{2}\cos(3-2x)+C$21​cos(3−2x)+C；写成 $-\frac{1}{2}\cos(3-2x)+C$−21​cos(3−2x)+C，是只记得「乘 $\frac{1}{a}$a1​」，忘了 $a=-2$a=−2 带着负号。