条件概率、乘法公式与独立性

本节导读

在已经知道某件事发生了的前提下，另一件事发生的可能性会发生变化，这就是条件概率。与它紧密相关的是乘法公式（求两个事件同时发生的概率）和事件的独立性（一个事件的发生不影响另一个）。

在试卷里，这一部分常用来计算「不放回抽取」「两人独立射击」等问题，选择题、填空题和解答题都可能出现。学完这一节，你应该能分清什么时候用条件概率、什么时候两个事件相互独立，并会用乘法公式和独立性计算。

条件概率与乘法公式

条件概率

设 $A$A、$B$B 是两个事件，$P(A)\gt0$P(A)>0，在 $A$A 已经发生的条件下，$B$B 发生的概率叫条件概率，记作 $P(B\mid A)$P(B∣A)：

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$P(B∣A)=P(A)P(AB)​

可以这样理解：条件 $A$A 已发生，样本空间缩小到了 $A$A，在这个缩小后的范围里看 $B$B 占多大比例。例如掷一颗骰子，$A=$A=「点数为偶数」$=\{2,4,6\}$={2,4,6}，$B=$B=「点数大于 3」$=\{4,5,6\}$={4,5,6}。$AB=\{4,6\}$AB={4,6}，$P(AB)=\frac{2}{6}$P(AB)=62​，$P(A)=\frac{3}{6}$P(A)=63​，所以 $P(B\mid A)=\frac{2}{3}$P(B∣A)=32​。直接在 $A$A 的 3 个结果里数，也是 2 个满足 $B$B，得 $\frac{2}{3}$32​。

乘法公式

把条件概率公式变形，得到求「同时发生」概率的乘法公式：

$$P(AB)=P(A)\,P(B\mid A)\quad(P(A)\gt0)$$P(AB)=P(A)P(B∣A)(P(A)>0)

可以推广到三个事件：$P(ABC)=P(A)\,P(B\mid A)\,P(C\mid AB)$P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)。典型用途是不放回抽取：袋中 5 个白球、3 个黑球，不放回地依次取 2 个，两个都是白球的概率为 $\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$85​×74​=145​，其中 $\frac{4}{7}$74​ 就是第一次取到白球之后，第二次取到白球的条件概率。

事件的独立性

定义与性质

如果 $P(AB)=P(A)P(B)$P(AB)=P(A)P(B)，就说事件 $A$A、$B$B 相互独立。当 $P(A)\gt0$P(A)>0 时，它等价于 $P(B\mid A)=P(B)$P(B∣A)=P(B)：知道 $A$A 发生与否，不影响 $B$B 的概率。若 $A$A、$B$B 独立，则 $A$A 与 $\overline{B}$B、$\overline{A}$A 与 $B$B、$\overline{A}$A 与 $\overline{B}$B 也都独立。

独立事件的和事件概率，用逆事件最方便：

$$P(A\cup B)=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$$P(A∪B)=1−P(A)P(B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)

例如甲、乙两人独立射击，命中率分别为 0.8 和 0.7。两人都命中的概率为 $0.8\times0.7=0.56$0.8×0.7=0.56；恰有一人命中的概率为 $0.8\times0.3+0.2\times0.7=0.38$0.8×0.3+0.2×0.7=0.38；至少有一人命中的概率为 $1-0.2\times0.3=0.94$1−0.2×0.3=0.94。

互斥与独立

互斥与独立是两个完全不同的概念：互斥是不能同时发生，独立是互不影响。如果 $P(A)\gt0$P(A)>0，$P(B)\gt0$P(B)>0 并且 $A$A、$B$B 互斥，那么 $P(AB)=0\ne P(A)P(B)$P(AB)=0=P(A)P(B)，所以两个事件一定不独立。

全概率公式（了解）

如果事件 $A_1$A1​、$A_2$A2​ 互斥，并且 $A_1\cup A_2=\Omega$A1​∪A2​=Ω，则对任一事件 $B$B，有

$$P(B)=P(A_1)\,P(B\mid A_1)+P(A_2)\,P(B\mid A_2)$$P(B)=P(A1​)P(B∣A1​)+P(A2​)P(B∣A2​)