导数公式与四则运算法则

本节导读

上一节是用定义求导，一次只能算一个很简单的函数。实际做题时，我们靠两样东西快速求导：一张基本求导公式表，以及和差积商的运算法则。这两样东西是整个微积分的基本功，求单调性、极值、切线，乃至后面的积分，都要用到。

学完这一节，你应该能背下基本求导公式，会用乘法法则和除法法则求导，并能算出导数在某一点的值。公式一定要背熟，考场上没有时间推导。

基本初等函数的求导公式

代数与指数、对数函数

先看常数、幂函数、指数函数和对数函数的求导公式：

函数	导数
$C$C（常数）	$0$0
$x^{a}$xa	$a x^{a-1}$axa−1
$a^{x}$ax	$a^{x}\ln a$axlna
$e^{x}$ex	$e^{x}$ex
$\log_a x$loga​x	$\dfrac{1}{x\ln a}$xlna1​
$\ln x$lnx	$\dfrac{1}{x}$x1​

求幂函数的导数前，要把根式和分式化成幂的形式：$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$x​=x21​，所以 $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$(x​)′=21​x−21​=2x​1​；$\frac{1}{x}=x^{-1}$x1​=x−1，所以 $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$(x1​)′=−x21​。

三角函数与反三角函数

下面是三角函数和反三角函数的求导公式。另外还有 $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$(arccosx)′=−1−x2​1​，$(\operatorname{arccot}x)'=-\frac{1}{1+x^2}$(arccotx)′=−1+x21​，它们只比对应的反正弦、反正切多一个负号。

函数	导数
$\sin x$sinx	$\cos x$cosx
$\cos x$cosx	$-\sin x$−sinx
$\tan x$tanx	$\sec^2 x$sec2x
$\cot x$cotx	$-\csc^2 x$−csc2x
$\arcsin x$arcsinx	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$1−x2​1​
$\arctan x$arctanx	$\dfrac{1}{1+x^2}$1+x21​

这里 $\sec x=\frac{1}{\cos x}$secx=cosx1​，$\csc x=\frac{1}{\sin x}$cscx=sinx1​。

导数的四则运算法则

设 $u=u(x)$u=u(x)，$v=v(x)$v=v(x) 都可导，则有下面的法则：

运算	法则
和差	$(u\pm v)'=u'\pm v'$(u±v)′=u′±v′
常数倍	$(Cu)'=Cu'$(Cu)′=Cu′
乘积	$(uv)'=u'v+uv'$(uv)′=u′v+uv′
商	$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​（$v\ne0$v=0）

乘积法则可以记成「前导后不导，加上前不导后导」。商的法则中，分子是「上导下不导，减去上不导下导」，分母是分母的平方，分子的减法顺序不能颠倒。

先化简再求导

有些函数先变形，求导会简单很多，不必硬套乘法或除法法则。例如

$$y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\ \Rightarrow\ y'=1-\frac{1}{x^2}$$y=xx2+1​=x+x1​ ⇒ y′=1−x21​

又如 $y=(x-1)(x+2)=x^2+x-2$y=(x−1)(x+2)=x2+x−2，直接得 $y'=2x+1$y′=2x+1。

对一个函数在某一点的导数值，要先求出导函数 $y'$y′，再代入这一点。注意不能先代入数值再求导：先代入得到的是常数，常数的导数是 0。

易错提醒

• ❌ 认为 $(uv)'=u'v'$(uv)′=u′v′。✅ 乘积的导数是 $u'v+uv'$u′v+uv′，不是两个导数相乘。

• ❌ 认为 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'}{v'}$(vu​)′=v′u′​。✅ 商的法则是 $\frac{u'v-uv'}{v^2}$v2u′v−uv′​，分子的两项不能换位，分母要平方。

• ❌ 把 $(2^{x})'$(2x)′ 写成 $x\cdot2^{x-1}$x⋅2x−1。✅ $2^{x}$2x 是指数函数，不是幂函数，$(2^{x})'=2^{x}\ln2$(2x)′=2xln2。

• ❌ 认为 $(\cos x)'=\sin x$(cosx)′=sinx。✅ $(\cos x)'=-\sin x$(cosx)′=−sinx，余弦的导数要带负号。

• ❌ 认为 $(\sqrt{x})'=\frac{1}{\sqrt{x}}$(x​)′=x​1​。✅ 应是 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$2x​1​，少了系数 $\frac{1}{2}$21​。

• ❌ 认为 $(e^{2})'=e^{2}$(e2)′=e2、$(\ln2)'=\frac{1}{2}$(ln2)′=21​。✅ $e^{2}$e2、$\ln2$ln2 都是常数，它们的导数都是 0。

例题精讲

例题 1

求 $y=x^3-\dfrac{2}{x}+5$y=x3−x2​+5 的导数。

答案：$y'=3x^2+\dfrac{2}{x^2}$y′=3x2+x22​

解析：把第二项写成 $-2x^{-1}$−2x−1。逐项求导：$(x^3)'=3x^2$(x3)′=3x2，$(-2x^{-1})'=-2\cdot(-1)x^{-2}=\frac{2}{x^2}$(−2x−1)′=−2⋅(−1)x−2=x22​，常数 5 的导数是 0。所以 $y'=3x^2+\frac{2}{x^2}$y′=3x2+x22​。

例题 2

求 $y=x^2e^{x}$y=x2ex 的导数。

答案：$y'=(x^2+2x)e^{x}$y′=(x2+2x)ex

解析：用乘积法则，取 $u=x^2$u=x2，$v=e^{x}$v=ex，则 $y'=2x\cdot e^{x}+x^2\cdot e^{x}=(x^2+2x)e^{x}$y′=2x⋅ex+x2⋅ex=(x2+2x)ex。

例题 3

设 $y=\dfrac{\sin x}{x}$y=xsinx​，求 $y'$y′ 以及 $y'(\pi)$y′(π)。

答案：$y'=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$y′=x2xcosx−sinx​；$y'(\pi)=-\dfrac{1}{\pi}$y′(π)=−π1​

解析：用商的法则，$u=\sin x$u=sinx，$v=x$v=x：$y'=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot1}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$y′=x2cosx⋅x−sinx⋅1​=x2xcosx−sinx​。代入 $x=\pi$x=π：$y'(\pi)=\frac{\pi\cos\pi-\sin\pi}{\pi^2}=\frac{-\pi}{\pi^2}=-\frac{1}{\pi}$y′(π)=π2πcosπ−sinπ​=π2−π​=−π1​。

本节小结

• 基本求导公式表必须背熟，特别注意 $(a^{x})'=a^{x}\ln a$(ax)′=axlna、$(\cos x)'=-\sin x$(cosx)′=−sinx。
• 和差法则逐项求导，常数倍可以提出，常数的导数是 0。
• 乘积法则 $(uv)'=u'v+uv'$(uv)′=u′v+uv′，商的法则 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​。
• 求导前先把根式、分式化成幂，能化简的先化简，再求导。
• 求某点的导数值，先求导函数，再代入这个点。