无穷小与无穷大

本节导读

无穷小是极限为 0 的量，它是微积分里最常用的概念之一：导数、微分、定积分都是在研究「无穷小」的比值或和。这一节有两个目标：弄清无穷小和无穷大的含义，学会用等价无穷小替换快速求极限。

在试卷里，这部分常以选择题出现：判断两个无穷小的阶，或者直接求一个乘除形式的极限。学完这一节，你应该能背出常用的等价无穷小，并知道什么时候可以替换、什么时候不能替换。

无穷小与无穷大

无穷小

在某个变化过程中，极限为 0 的变量（函数）叫无穷小。注意它不是「很小的数」，而是一个趋于 0 的变量；常数中只有 0 可以看作无穷小。例如 $x\to0$x→0 时，$x$x、$x^2$x2、$\sin x$sinx 都是无穷小；$x\to\infty$x→∞ 时，$\frac{1}{x}$x1​ 是无穷小。

无穷小有下面几条性质：

• 有限个无穷小的和与积仍是无穷小。
• 常数与无穷小的乘积是无穷小。
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

最后一条很实用：$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$limx→0​xsinx1​=0，因为 $\left\lvert\sin\frac{1}{x}\right\rvert\le1$​sinx1​​≤1 有界，而 $x$x 是无穷小。同理 $\lim_{x\to\infty}\frac{\arctan x}{x}=0$limx→∞​xarctanx​=0。

无穷大及其与无穷小的关系

如果在某个变化过程中，$\lvert f(x)\rvert$∣f(x)∣ 无限增大，就说 $f(x)$f(x) 是无穷大，记作 $\lim f(x)=\infty$limf(x)=∞。无穷大是变量，再大的常数也不是无穷大，并且极限为无穷大时极限是不存在的。

在同一个变化过程中，无穷大与无穷小互为倒数：若 $f(x)$f(x) 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$f(x)1​ 是无穷小；若 $f(x)\ne0$f(x)=0 且是无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$f(x)1​ 是无穷大。例如 $x\to1$x→1 时 $x-1$x−1 是无穷小，所以 $\frac{1}{x-1}$x−11​ 是无穷大。

无穷小的比较

两个无穷小趋于 0 的快慢不一样。设 $\alpha$α、$\beta$β 在同一变化过程中都是无穷小，且 $\alpha\ne0$α=0，看比值的极限 $\lim\frac{\beta}{\alpha}$limαβ​：

$\lim\dfrac{\beta}{\alpha}$limαβ​ 的值	说法
$0$0	$\beta$β 是比 $\alpha$α 高阶的无穷小
不为 0 的常数	$\beta$β 与 $\alpha$α 是同阶无穷小
$1$1	$\beta$β 与 $\alpha$α 是等价无穷小，记作 $\beta\sim\alpha$β∼α
$\infty$∞	$\beta$β 是比 $\alpha$α 低阶的无穷小

例如 $x\to0$x→0 时，$\lim\frac{x^2}{x}=0$limxx2​=0，所以 $x^2$x2 是比 $x$x 高阶的无穷小；$\lim\frac{2x}{x}=2$limx2x​=2，所以 $2x$2x 与 $x$x 是同阶（但不等价）无穷小；$\lim\frac{\sin x}{x}=1$limxsinx​=1，所以 $\sin x\sim x$sinx∼x。

等价无穷小替换

常用的等价无穷小

下面是 $x\to0$x→0 时最常用的等价关系，要求背熟：

无穷小	等价于
$\sin x$sinx、$\tan x$tanx	$x$x
$\arcsin x$arcsinx、$\arctan x$arctanx	$x$x
$\ln(1+x)$ln(1+x)	$x$x
$e^{x}-1$ex−1	$x$x
$1-\cos x$1−cosx	$\dfrac{1}{2}x^2$21​x2
$(1+x)^{a}-1$(1+x)a−1	$ax$ax

这些关系里的 $x$x 可以换成任何趋于 0 的式子，例如 $x\to0$x→0 时 $\sin3x\sim3x$sin3x∼3x，$e^{2x}-1\sim2x$e2x−1∼2x，$1-\cos2x\sim\frac{1}{2}(2x)^2=2x^2$1−cos2x∼21​(2x)2=2x2。

替换的规则

在求极限时，可以把乘积或商中的某个因式换成它的等价无穷小，结果不变。但在加减运算中不能随意替换，除非能保证各项不会互相抵消。

例如 $\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$limx→0​tan5xsin3x​，分子分母同时替换：$\sin3x\sim3x$sin3x∼3x，$\tan5x\sim5x$tan5x∼5x，所以极限是 $\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$5x3x​=53​。

易错提醒

• ❌ 把无穷小理解成「很小的正数」，比如 0.0001。✅ 无穷小是极限为 0 的变量，常数中只有 0 是无穷小。

• ❌ 认为两个无穷小的比一定等于 1。✅ 比值的极限可能是 0、常数或无穷大，要具体计算。

• ❌ 求 $\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$limx→0​x3tanx−sinx​ 时，把 $\tan x$tanx、$\sin x$sinx 都换成 $x$x 得 $0$0。✅ 加减运算不能这样替换。正确做法是 $\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim x\cdot\frac{x^2}{2}$tanx−sinx=tanx(1−cosx)∼x⋅2x2​，极限是 $\frac{1}{2}$21​。

• ❌ 认为 $x\to0$x→0 时 $\sqrt{x}$x​ 比 $x$x 高阶。✅ $\lim\frac{\sqrt{x}}{x}=\infty$limxx​​=∞，$\sqrt{x}$x​ 比 $x$x 低阶。

• ❌ 把很大的常数（如 $10^{10}$1010）叫无穷大。✅ 无穷大是绝对值无限增大的变量。

例题精讲

例题 1

求 $\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{\ln(1+4x)}$limx→0​ln(1+4x)e2x−1​。

答案：$\dfrac{1}{2}$21​

解析：$x\to0$x→0 时 $e^{2x}-1\sim2x$e2x−1∼2x，$\ln(1+4x)\sim4x$ln(1+4x)∼4x。两个因式都是整体替换，所以极限是 $\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2}$4x2x​=21​。

例题 2

当 $x\to0$x→0 时，$x^2+x^3$x2+x3 与 $x$x 比较，哪个阶更高？

答案：$x^2+x^3$x2+x3 是比 $x$x 高阶的无穷小

解析：$\lim_{x\to0}\frac{x^2+x^3}{x}=\lim_{x\to0}(x+x^2)=0$limx→0​xx2+x3​=limx→0​(x+x2)=0，比值的极限是 0，所以 $x^2+x^3$x2+x3 是比 $x$x 高阶的无穷小。

例题 3

求 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{\arctan x}{x}$limx→∞​xarctanx​。

答案：0

解析：$\lvert\arctan x\rvert\lt\frac{\pi}{2}$∣arctanx∣<2π​，是有界函数；$\frac{1}{x}$x1​ 是 $x\to\infty$x→∞ 时的无穷小。有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小，所以极限是 0。不能因为 $\arctan x$arctanx 的极限不存在就说整个极限不存在。

本节小结

• 无穷小是极限为 0 的变量，常数中只有 0；有界函数乘无穷小仍是无穷小。
• 无穷大与无穷小互为倒数关系（无穷小不为 0 时）；极限为无穷大时极限不存在。
• 无穷小的比较看比值的极限：0 为高阶，常数为同阶，1 为等价，$\infty$∞ 为低阶。
• 常用等价无穷小要背熟：$\sin x$sinx、$\tan x$tanx、$\ln(1+x)$ln(1+x)、$e^{x}-1$ex−1 都等价于 $x$x，$1-\cos x$1−cosx 等价于 $\frac{1}{2}x^2$21​x2。
• 等价无穷小只能用在乘除因式上，加减的各项不能随意替换。