定积分的换元法与分部积分法

本节导读

牛顿-莱布尼茨公式告诉我们，定积分等于原函数在两端的差。那么求原函数时用到的换元法、分部积分法，在定积分里怎么用，有什么不同？这一节就解决这个问题，并介绍对称区间上的奇偶性技巧，它能让一些看起来很难的积分一步算完。

在试卷里，这类积分常出现在解答题里，对称区间的奇偶性则常在选择题、填空题里考。学完这一节，你应该能熟练做到：换元必换限，分部不丢边界项，遇到对称区间先看奇偶。

定积分的换元积分法

换元必须换限

设 $f(x)$f(x) 连续，令 $x=\varphi(t)$x=φ(t)，当 $t$t 从 $\alpha$α 变到 $\beta$β 时，$x$x 从 $a$a 变到 $b$b，则

$$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$$∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

和不定积分最大的区别是：积分限也要跟着变量一起换，并且积出以后不必回代到 $x$x，直接用新的上下限代入。

如果只是凑微分而没有引入新字母，积分限就不用换。例如

$$\int_0^12xe^{x^2}\,\mathrm{d}x=\int_0^1e^{x^2}\,\mathrm{d}(x^2)=\Big[e^{x^2}\Big]_0^1=e-1$$∫01​2xex2dx=∫01​ex2d(x2)=[ex2]01​=e−1

换元的例子

计算 $\int_0^3\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{d}x$∫03​x+1​1​dx。令 $t=\sqrt{x+1}$t=x+1​，则 $x=t^2-1$x=t2−1，$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$dx=2tdt。积分限：$x=0$x=0 时 $t=1$t=1，$x=3$x=3 时 $t=2$t=2。于是

$$\int_1^2\frac{2t}{t}\,\mathrm{d}t=\Big[2t\Big]_1^2=4-2=2$$∫12​t2t​dt=[2t]12​=4−2=2

定积分的分部积分法

分部积分公式在定积分里多了边界项：

$$\int_a^bu\,\mathrm{d}v=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^bv\,\mathrm{d}u$$∫ab​udv=[uv]ab​−∫ab​vdu

先把 $\Big[uv\Big]_a^b$[uv]ab​ 这一项代入上下限算出来，再算剩下的积分。例如

$$\int_0^1xe^{x}\,\mathrm{d}x=\Big[xe^{x}\Big]_0^1-\int_0^1e^{x}\,\mathrm{d}x=e-(e-1)=1$$∫01​xexdx=[xex]01​−∫01​exdx=e−(e−1)=1 $$\int_1^{e}\ln x\,\mathrm{d}x=\Big[x\ln x\Big]_1^{e}-\int_1^{e}1\,\mathrm{d}x=e-(e-1)=1$$∫1e​lnxdx=[xlnx]1e​−∫1e​1dx=e−(e−1)=1 $$\int_0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x=\Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,\mathrm{d}x=\pi+0=\pi$$∫0π​xsinxdx=[−xcosx]0π​+∫0π​cosxdx=π+0=π

奇偶函数在对称区间上的积分

设 $f(x)$f(x) 在 $[-a,a]$[−a,a] 上连续：如果 $f(x)$f(x) 是奇函数，则 $\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=0$∫−aa​f(x)dx=0；如果 $f(x)$f(x) 是偶函数，则 $\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^af(x)\,\mathrm{d}x$∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx。常见的奇偶函数见下表：

类型	例子	对称区间 $[-a,a]$[−a,a] 上的积分
奇函数	$x$x、$x^3$x3、$\sin x$sinx、$x^2\sin x$x2sinx	$0$0
偶函数	$x^2$x2、$\cos x$cosx、$\lvert x\rvert$∣x∣、$e^{x}+e^{-x}$ex+e−x	$2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x$2∫0a​f(x)dx

被积函数是几项的和时，按项判断：奇的那部分积分为 0，偶的那部分化成 $2\int_0^a$2∫0a​。例如