定积分的应用：面积与旋转体体积

本节导读

定积分最重要的应用是求面积和体积。这类题的解法有固定的套路：画出草图，确定积分变量和积分限，写出被积函数，再计算定积分。步骤清楚、运算量适中，是解答题里最有把握拿分的题型之一。

学完这一节，你应该能求由两条曲线围成的平面图形的面积，能求平面图形绕 $x$x 轴、$y$y 轴旋转一周的体积，并知道各个公式在什么情形下使用。

平面图形的面积

两个公式

由曲线 $y=f(x)$y=f(x)、$y=g(x)$y=g(x)（$f(x)\ge g(x)$f(x)≥g(x)）及直线 $x=a$x=a、$x=b$x=b 围成的图形，面积为

$$A=\int_a^b\big[f(x)-g(x)\big]\,\mathrm{d}x$$A=∫ab​[f(x)−g(x)]dx

即「上面的曲线减下面的曲线」。特别地，当 $g(x)=0$g(x)=0 时，就是曲线与 $x$x 轴围成的图形（$f(x)\ge0$f(x)≥0）。如果图形更适合从左右看，则由 $x=\varphi(y)$x=φ(y)、$x=\psi(y)$x=ψ(y)（$\varphi(y)\ge\psi(y)$φ(y)≥ψ(y)）及 $y=c$y=c、$y=d$y=d 围成的图形面积为

$$A=\int_c^d\big[\varphi(y)-\psi(y)\big]\,\mathrm{d}y$$A=∫cd​[φ(y)−ψ(y)]dy

解题步骤

先画草图，再按下面三步做：

• 第一步，联立曲线方程求交点，确定积分的上下限；
• 第二步，在积分区间上判断哪条曲线在上（右）、哪条在下（左）；
• 第三步，列出「上减下」的定积分并计算。

例如求 $y=x^2$y=x2 与 $y=2x$y=2x 围成的图形面积。联立得交点横坐标 $x=0$x=0 和 $x=2$x=2，在 $[0,2]$[0,2] 上 $2x\ge x^2$2x≥x2，所以

$$A=\int_0^2(2x-x^2)\,\mathrm{d}x=\Big[x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$A=∫02​(2x−x2)dx=[x2−3x3​]02​=4−38​=34​

旋转体的体积

绕 x 轴与绕 y 轴

平面图形绕坐标轴旋转一周，得到的立体叫旋转体。常用的两个公式如下：

情形	图形	体积公式
绕 $x$x 轴	$y=f(x)$y=f(x)、$x=a$x=a、$x=b$x=b 与 $x$x 轴围成	$V_x=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,\mathrm{d}x$Vx​=π∫ab​[f(x)]2dx
绕 $y$y 轴	$x=\varphi(y)$x=φ(y)、$y=c$y=c、$y=d$y=d 与 $y$y 轴围成	$V_y=\pi\int_c^d[\varphi(y)]^2\,\mathrm{d}y$Vy​=π∫cd​[φ(y)]2dy

绕 $y$y 轴旋转时，如果曲线给的是 $y=f(x)$y=f(x)，先把它解成 $x=\varphi(y)$x=φ(y) 再用公式。如果图形夹在两条曲线之间（$f(x)\ge g(x)\ge0$f(x)≥g(x)≥0）绕 $x$x 轴旋转，体积是「外圆减内圆」：

$$V_x=\pi\int_a^b\big[f(x)^2-g(x)^2\big]\,\mathrm{d}x$$Vx​=π∫ab​[f(x)2−g(x)2]dx

几个例子

$y=x$y=x（$0\le x\le1$0≤x≤1）绕 $x$x 轴旋转得到底面半径为 1、高为 1 的圆锥，$V=\pi\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{3}$V=π∫01​x2dx=3π​，与圆锥体积公式 $\frac{1}{3}\pi r^2h$31​πr2h 一致。

$y=x^2$y=x2（$0\le x\le1$0≤x≤1）绕 $y$y 轴旋转：曲线可写成 $x=\sqrt{y}$x=y​，$y$y 从 0 到 1，所以 $V_y=\pi\int_0^1(\sqrt{y})^2\,\mathrm{d}y=\pi\int_0^1y\,\mathrm{d}y=\frac{\pi}{2}$Vy​=π∫01​(y​)2dy=π∫01​ydy=2π​。