二阶偏导数与全微分

本节导读

一阶偏导数仍然是 $x$x、$y$y 的函数，可以继续求偏导，得到二阶偏导数；二阶偏导数是下一节判断二元函数极值的关键。全微分则是一元函数微分的推广：当 $x$x 和 $y$y 同时发生微小的改变时，它描述函数值的改变量的主要部分。

在试卷里，这一节常考的是：求二阶偏导数（特别是混合偏导数）、写出全微分或求它在某点的值、用全微分估算近似值。学完这一节，你应该能熟练写出 $\mathrm{d}z=z_x\,\mathrm{d}x+z_y\,\mathrm{d}y$dz=zx​dx+zy​dy，并正确计算。

二阶偏导数

四个二阶偏导数

对 $z=f(x,y)$z=f(x,y) 的一阶偏导数 $z_x$zx​、$z_y$zy​ 再求偏导数，一共有四个二阶偏导数：

记号	含义
$z_{xx}=\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}$zxx​=∂x2∂2z​	把 $z_x$zx​ 再对 $x$x 求偏导
$z_{xy}=\dfrac{\partial^2z}{\partial x\,\partial y}$zxy​=∂x∂y∂2z​	把 $z_x$zx​ 再对 $y$y 求偏导（先 $x$x 后 $y$y）
$z_{yx}=\dfrac{\partial^2z}{\partial y\,\partial x}$zyx​=∂y∂x∂2z​	把 $z_y$zy​ 再对 $x$x 求偏导（先 $y$y 后 $x$x）
$z_{yy}=\dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}$zyy​=∂y2∂2z​	把 $z_y$zy​ 再对 $y$y 求偏导

其中 $z_{xy}$zxy​ 和 $z_{yx}$zyx​ 叫混合偏导数。可以证明，当两个混合偏导数在区域内连续时，它们相等：$z_{xy}=z_{yx}$zxy​=zyx​。课程里遇到的初等函数都满足这个条件，所以只要求出其中一个，就知道另一个。

计算举例

设 $z=x^3y-2xy^2$z=x3y−2xy2。先求一阶：$z_x=3x^2y-2y^2$zx​=3x2y−2y2，$z_y=x^3-4xy$zy​=x3−4xy。再求二阶：

$$z_{xx}=6xy,\quad z_{xy}=3x^2-4y,\quad z_{yx}=3x^2-4y,\quad z_{yy}=-4x$$zxx​=6xy,zxy​=3x2−4y,zyx​=3x2−4y,zyy​=−4x

可以看到 $z_{xy}=z_{yx}$zxy​=zyx​。又如 $z=e^{xy}$z=exy：$z_x=ye^{xy}$zx​=yexy，$z_{xx}=y^2e^{xy}$zxx​=y2exy，$z_{xy}=e^{xy}+xye^{xy}=(1+xy)e^{xy}$zxy​=exy+xyexy=(1+xy)exy。

全微分

定义与公式

如果二元函数的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y) 可以写成 $A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$AΔx+BΔy+o(ρ)（$\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ρ=Δx2+Δy2​）的形式，就说函数可微，线性部分 $A\Delta x+B\Delta y$AΔx+BΔy 叫全微分。此时 $A=z_x$A=zx​，$B=z_y$B=zy​，规定 $\mathrm{d}x=\Delta x$dx=Δx，$\mathrm{d}y=\Delta y$dy=Δy，则

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y$$dz=∂x∂z​dx+∂y∂z​dy

关系可以这样记：偏导数连续，则函数可微；可微则两个偏导数都存在。

计算

求全微分的步骤是：先分别求出 $z_x$zx​ 和 $z_y$zy​，再写成 $z_x\,\mathrm{d}x+z_y\,\mathrm{d}y$zx​dx+zy​dy。例如：

$$z=x^2y\ \Rightarrow\ \mathrm{d}z=2xy\,\mathrm{d}x+x^2\,\mathrm{d}y,\qquad z=\ln(x^2+y^2)\ \Rightarrow\ \mathrm{d}z=\frac{2x\,\mathrm{d}x+2y\,\mathrm{d}y}{x^2+y^2}$$z=x2y ⇒ dz=2xydx+x2dy,z=ln(x2+y2) ⇒ dz=x2+y22xdx+2ydy​

求在某一点的全微分，先求出 $z_x$zx​、$z_y$zy​ 在这一点的值再写。例如 $z=x^2y$z=x2y 在点 $(1,2)$(1,2)：$z_x=2xy=4$zx​=2xy=4，$z_y=x^2=1$zy​=x2=1，所以 $\mathrm{d}z=4\,\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$dz=4dx+dy。

全微分的应用：近似计算

当 $\lvert\Delta x\rvert$∣Δx∣、$\lvert\Delta y\rvert$∣Δy∣ 都很小时，$\Delta z\approx\mathrm{d}z$Δz≈dz，所以

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y$$f(x0​+Δx,y0​+Δy)≈f(x0​,y0​)+fx​(x0​,y0​)Δx+fy​(x0​,y0​)Δy