二元函数的极值与条件极值

本节导读

一元函数求极值，是令导数为 0 找驻点，再判断。二元函数的思路完全一样，只是要同时看两个偏导数，判断驻点时用到二阶偏导数。此外现实问题往往带有限制条件，比如「预算一定，怎样搭配使效用最大」，这就是条件极值，可以用拉格朗日乘数法解决。

在试卷里，二元函数极值是多元函数微分学里比较综合的一类题，常以解答题出现，也可能只考其中一个环节（求驻点或判断某个驻点）。学完这一节，你应该能按固定步骤求出二元函数的极值，并会解简单的条件极值问题。

二元函数的无条件极值

极值的必要条件与充分条件

如果在点 $(x_0,y_0)$(x0​,y0​) 附近总有 $f(x,y)\le f(x_0,y_0)$f(x,y)≤f(x0​,y0​)，则 $f(x_0,y_0)$f(x0​,y0​) 是极大值；总有 $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$f(x,y)≥f(x0​,y0​)，则是极小值。

必要条件：偏导数存在的极值点处，$f_x=0$fx​=0 且 $f_y=0$fy​=0，满足它的点叫驻点。驻点不一定是极值点。

充分条件：设 $(x_0,y_0)$(x0​,y0​) 是驻点，且二阶偏导数连续。记 $A=f_{xx}(x_0,y_0)$A=fxx​(x0​,y0​)，$B=f_{xy}(x_0,y_0)$B=fxy​(x0​,y0​)，$C=f_{yy}(x_0,y_0)$C=fyy​(x0​,y0​)，则按 $AC-B^2$AC−B2 的符号判断：

条件	结论
$AC-B^2\gt0$AC−B2>0 且 $A\gt0$A>0	$f(x_0,y_0)$f(x0​,y0​) 是极小值
$AC-B^2\gt0$AC−B2>0 且 $A\lt0$A<0	$f(x_0,y_0)$f(x0​,y0​) 是极大值
$AC-B^2\lt0$AC−B2<0	不是极值（鞍点）
$AC-B^2=0$AC−B2=0	此法不能判定

解题步骤

按下面四步做：

• 第一步，求 $f_x$fx​、$f_y$fy​，令它们同时为 0，解方程组得到所有驻点；
• 第二步，求二阶偏导数 $f_{xx}$fxx​、$f_{xy}$fxy​、$f_{yy}$fyy​；
• 第三步，对每个驻点算出 $A$A、$B$B、$C$C，按上表判断；
• 第四步，把驻点代入函数，求出极值。

例如 $f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+1$f(x,y)=x2+y2−2x+4y+1：$f_x=2x-2$fx​=2x−2，$f_y=2y+4$fy​=2y+4，令其为 0 得驻点 $(1,-2)$(1,−2)。$A=2$A=2，$B=0$B=0，$C=2$C=2，$AC-B^2=4\gt0$AC−B2=4>0 且 $A\gt0$A>0，所以在 $(1,-2)$(1,−2) 处取得极小值 $f(1,-2)=1+4-2-8+1=-4$f(1,−2)=1+4−2−8+1=−4。

条件极值与拉格朗日乘数法

什么是条件极值

求函数 $z=f(x,y)$z=f(x,y) 在约束条件 $\varphi(x,y)=0$φ(x,y)=0 下的极值，叫条件极值。如果约束条件容易解出一个变量，可以代入目标函数，化成一元函数求极值，例如 $x+y=4$x+y=4 时求 $x^2+y^2$x2+y2：代入 $y=4-x$y=4−x 得 $x^2+(4-x)^2$x2+(4−x)2，再求最小值。

拉格朗日乘数法

约束比较复杂时，用拉格朗日乘数法：构造函数 $L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，令三个偏导数为 0：

$$\begin{cases}f_x+\lambda\varphi_x=0\\ f_y+\lambda\varphi_y=0\\ \varphi(x,y)=0\end{cases}$$⎩⎨⎧​fx​+λφx​=0fy​+λφy​=0φ(x,y)=0​

解出的 $(x,y)$(x,y) 就是可能的条件极值点。在实际问题中，如果只有一个这样的点，而问题本身一定存在最大（小）值，那么这个点就是所求的最值点，不需要再判别。

例如在 $x+y=4$x+y=4 下求 $x^2+y^2$x2+y2 的最小值：$L=x^2+y^2+\lambda(x+y-4)$L=x2+y2+λ(x+y−4)，由 $2x+\lambda=0$2x+λ=0，$2y+\lambda=0$2y+λ=0 得 $x=y$x=y，再由约束得 $x=y=2$x=y=2，最小值是 $2^2+2^2=8$22+22=8。