解答题突破：应用题（最值、经济问题、面积体积与条件极值）

本节导读

应用题的方法分散在主线四节里：见本课第 13 节《函数的单调性与极值》（驻点与极值）、第 14 节《最大值最小值与应用题》（实际问题与经济问题的最值）、第 23 节《定积分的应用：面积与旋转体体积》和第 26 节《二元函数的极值与条件极值》（代入法与拉格朗日乘数法）。

这几类题单独看都不难，难在第一步：读完一段文字，不知道该设谁为变量、写出什么函数或积分。这一节不讲新公式，只做两件事：把四类应用题统一成「设变量、列式、求解、作答」的步骤，讲清每类题从哪里入手；经济问题单独讲边际与平均是什么意思。学完要做到：读题能列式，算完会判断，作答答所问。

这一块在试卷里怎么考

按本课第 1 节《考试介绍与备考方法》给的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准），试卷有选择题 10 道、填空题 10 道，每道 4 分，解答题 7 至 8 题（各资料写法不一）合计 70 分。应用题具体占多少分，各资料说法不一，这里不写死。第 14 节导读说最值问题「常以解答题的形式出现」；选择题、填空题也可能只考其中一步，比如求一个最大值、一块面积或一个旋转体的体积。

解答题按步骤给分（第 32 节），容易丢分的有五处（第 14、23、26 节易错提醒，第 32 节易错点回顾）：列函数时的取值范围，最值的判断理由，利润最大与平均成本最低各自的条件，旋转体公式里的平方与 $\pi$π，拉格朗日乘数法的方程个数。

方法归纳

第 14 节给了应用题的四步：设自变量写出函数和定义域、求导找驻点、用唯一驻点判断、带单位作答。把它推广到四类应用题，入口按下表找：

类型	设什么、列什么	怎么求	怎么判断、怎么答	出处
几何与实际最值	设一个量为 $x$x，把所求量写成 $x$x 的函数并写出范围；有两个量就用条件消去一个	求导，令导数为 0	驻点唯一、最值一定存在，它就是最值点；答所问的量，带单位	第 14 节
利润与平均成本	收益 $R=pq$R=pq，利润 $L=R-C$L=R−C，平均成本 $\overline{C}=\frac{C(q)}{q}$C=qC(q)​	令 $L'=0$L′=0 或 $\overline{C}\,'=0$C′=0	同上；利润最大可再用 $L''\lt0$L′′<0 检验	第 14 节
面积与体积	画草图，求交点定积分限，判断上下（或左右）	算定积分	面积一定为正；体积公式带 $\pi$π	第 23 节
条件极值	写出目标函数 $f(x,y)$f(x,y) 和约束 $\varphi(x,y)=0$φ(x,y)=0	约束好解就代入消元，否则用拉格朗日乘数法，列三个方程	驻点唯一、最值存在即为所求	第 26 节

经济问题的几个量要分清（设产量为 $q$q）：

量	记号	含义
收益、成本、利润	$R(q)=pq$R(q)=pq，$C(q)$C(q)，$L(q)=R(q)-C(q)$L(q)=R(q)−C(q)	卖 $q$q 件的总收入、总花费和赚的钱
边际收益、边际成本	$R'(q)$R′(q)，$C'(q)$C′(q)	产量为 $q$q 时再多产一件，收益、成本大约增加多少
平均成本	$\overline{C}(q)=\frac{C(q)}{q}$C(q)=qC(q)​	摊到每一件上的成本
利润最大的条件	$R'(q)=C'(q)$R′(q)=C′(q)	边际收益大于边际成本时多产一件就多赚，到两者相等为止
平均成本最低的条件	$C'(q)=\overline{C}(q)$C′(q)=C(q)	边际成本低于平均成本，多产一件会把平均成本拉低；高于时会抬高

四类题的区别只在「列式」这一步：一元最值列函数，经济题列利润或平均成本，面积体积列定积分，条件极值列目标函数和约束；后面的求导、积分、判断，都是主线练过的运算。

题型拆解

题型 1：一元函数的最值应用（含经济问题）

识别特征：问「最大、最小、最省、最低」，所求量能写成一个变量的函数；给了两个量和一个等式条件的，先用条件消去一个。

分步解法：按第 14 节的四步。比如用 108 平方分米的铁皮做一个底面为正方形的无盖箱子（接缝不计），求最大容积：设底边长 $x$x、高 $h$h，由 $x^2+4xh=108$x2+4xh=108 得 $h=\frac{108-x^2}{4x}$h=4x108−x2​，容积 $V=x^2h=27x-\frac{x^3}{4}$V=x2h=27x−4x3​，$0\lt x\lt6\sqrt{3}$0<x<63​。令 $V'=27-\frac{3x^2}{4}=0$V′=27−43x2​=0 得 $x=6$x=6，唯一驻点，所以底边 6 分米、高 3 分米时容积最大，为 108 立方分米。

常见陷阱：经济题把两个条件记混：$R(q)=C(q)$R(q)=C(q) 是盈亏平衡，不是利润最大；平均成本最低要对 $\frac{C(q)}{q}$qC(q)​ 求导，令 $C'(q)=0$C′(q)=0 是错的。

题型 2：面积与旋转体体积

识别特征：题目说「围成的图形」「绕某轴旋转一周」。

分步解法：按第 23 节的步骤：先画草图，联立求交点定积分限，在区间里取一点比较哪条曲线在上，面积写「上减下」。体积绕 $x$x 轴用 $\pi\int[f(x)]^2\,\mathrm{d}x$π∫[f(x)]2dx，两条曲线之间是外圆减内圆；绕 $y$y 轴先把曲线写成 $x=\varphi(y)$x=φ(y)，对 $y$y 积分。图形的左右边界更简单时，改对 $y$y 积分更省事。

常见陷阱：曲线穿过 $x$x 轴还直接积分，正负抵消。比如求曲线 $y=x^2-1$y=x2−1 与 $x$x 轴、直线 $x=0$x=0、$x=2$x=2 围成的面积，要在 $x=1$x=1 处分段：$\int_0^1(1-x^2)\,\mathrm{d}x+\int_1^2(x^2-1)\,\mathrm{d}x=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$∫01​(1−x2)dx+∫12​(x2−1)dx=32​+34​=2；直接算 $\int_0^2(x^2-1)\,\mathrm{d}x$∫02​(x2−1)dx 只得 $\frac{2}{3}$32​。