综合模拟练习与讲评

本节导读

这一节是加餐里的综合模拟：把本课试卷的三种题型——选择题、填空题和解答题——按比例缩编成一套，先做后讲。本节题目为原创模拟题，用来熟悉题型，不是历年试卷的原文。题目覆盖极限、导数、积分、多元函数和概率五个板块，解答题里有一道概率题。

建议这样用：先不看答案，按「题型配比说明」里的时间计时，做完本节末尾「本节考点练习」的 8 道选择题，再把正文里的 4 道填空题和 3 道解答题做在纸上；做完对照讲评给自己批改，最后按第 1 节《考试介绍与备考方法》的时间表复盘用时。学完这一节，你应该清楚自己在哪种题型、哪个板块丢分，下一步该回到哪几节去补。

题型配比说明

按本课第 1 节的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准），试卷满分 150 分，考试时间 150 分钟：选择题 10 道、填空题 10 道，每道 4 分，解答题 7 至 8 题（各资料写法不一）合计 70 分。本节按三种题型缩编：

题型	试卷参考口径	本节缩编	建议用时	覆盖板块
选择题	10 道，每道 4 分	8 道，在「本节考点练习」	约 20 分钟	五个板块都有
填空题	10 道，每道 4 分	4 道，在正文	约 10 分钟	极限、导数、积分、概率
解答题	7 至 8 题，合计 70 分	3 道，在正文	约 30 分钟	导数、积分、概率各一道

用时按第 1 节的时间表折算：选择题、填空题各约 25 分钟做 10 道，平均每道 2 至 3 分钟；解答题约 80 分钟做 7 至 8 道，平均每道约 10 分钟。本节合计约 60 分钟。计时时在每道题旁记下开始的时刻，复盘时才知道时间花在哪里。题目不标分值，解答题按步骤批改，写对一步算一步。

选择题讲评要点

8 道选择题覆盖极限、导数与变上限积分、原函数与偏导数、概率，外加一道解答评价题和一道时间安排题。每道题的解析都写明了「见第 N 节」，做错了就回到那一节。下面讲这套题怎么设陷阱、怎么破，具体答案以练习里的解析为准。

类别	这套题怎么设陷阱	怎么破	回看
极限	有理化后漏掉分母里的因式，等价无穷小的系数配错	先判型；乘除因式整体替换，系数跟着走	第 4、6 节
导数与变上限积分	乘积求导漏一项，根式和复合上限的内层导数漏乘	乘积法则两项都写；上限是 $\varphi(x)$φ(x) 就乘 $\varphi'(x)$φ′(x)	第 9、10、21 节
原函数与偏导数	四个选项长得像、硬算费时；求偏导时把另一个变量当成变量	原函数题对选项求导验算；对谁求导，其余当常数	第 16、24 节
概率	互斥与独立混用	先判断事件关系，再选加法或乘法公式	第 27、29 节
解答评价与时间安排	结论碰巧对、步骤却缺；看上去「更认真」的安排反而拖时间	按步骤给分逐步核对；按第 1 节的时间表判断	第 1、14、32 节

对完答案，把错题按上表的类别记进错题本，每道写一句错因：没记住、算错了，还是没看清题干。选择题、填空题的快解办法（特殊值、几何意义、对称性）在下一节第 37 节专门讲。

限时之外还要会验算，几十秒就能做完，比整题重算省时：① 原函数题对结果或选项求导，看能不能回到被积函数（第 16 节）；② 反求参数、解方程的题，把求出的值代回原条件；③ 看符号和范围：面积、体积一定为正，概率在 0 到 1 之间，分布列的概率和为 1，不满足的选项先排除。

非选择题示范

一、填空题

1. $\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{\ln x}=$limx→1​lnxx3−1​= ______。
2. 曲线 $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$y=x+12x−1​ 在点 $(0,-1)$(0,−1) 处的切线方程是 ______。
3. $\int_0^{\ln2}e^{x}(1+e^{x})^2\,\mathrm{d}x=$∫0ln2​ex(1+ex)2dx= ______。
4. 已知 $P(A)=0.3$P(A)=0.3，$P(B)=0.6$P(B)=0.6，$P(B\mid A)=0.5$P(B∣A)=0.5，则 $P(A\cup B)=$P(A∪B)= ______。

答案与讲评（填空题只看最后结果，要化成最简形式：分数约分，根式、$\pi$π、$e$e 保留原样，见第 1 节）：

1. 3。$x\to1$x→1 时 $\ln x=\ln[1+(x-1)]\sim x-1$lnx=ln[1+(x−1)]∼x−1，原式 $=\lim_{x\to1}(x^2+x+1)=3$=limx→1​(x2+x+1)=3（见第 6、33 节）。
2. $y=3x-1$y=3x−1。$y'=\frac{3}{(x+1)^2}$y′=(x+1)23​，$y'(0)=3$y′(0)=3，由点斜式 $y+1=3x$y+1=3x 整理得到（见第 8、9 节）。
3. $\frac{19}{3}$319​。凑微分 $e^{x}\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(1+e^{x})$exdx=d(1+ex)，原函数是 $\frac{(1+e^{x})^3}{3}$3(1+ex)3​，代入上下限得 $\frac{27-8}{3}$327−8​（见第 17、21 节）。
4. 0.75。先用乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B\mid A)=0.15$P(AB)=P(A)P(B∣A)=0.15，再用加法公式 $0.3+0.6-0.15$0.3+0.6−0.15（见第 27、29 节）。

二、解答一：导数的应用

求函数 $f(x)=x^2\ln x$f(x)=x2lnx 的单调区间与极值。

参考答案：

• 定义域是 $(0,+\infty)$(0,+∞)。
• $f'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$f′(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1)，令 $f'(x)=0$f′(x)=0 得 $x=e^{-\frac{1}{2}}$x=e−21​（$x=0$x=0 不在定义域内）。
• $0\lt x\lt e^{-\frac{1}{2}}$0<x<e−21​ 时 $f'(x)\lt0$f′(x)<0，$x\gt e^{-\frac{1}{2}}$x>e−21​ 时 $f'(x)\gt0$f′(x)>0。
• 所以 $f(x)$f(x) 在 $(0,e^{-\frac{1}{2}})$(0,e−21​) 上单调减少，在 $(e^{-\frac{1}{2}},+\infty)$(e−21​,+∞) 上单调增加；极小值 $f(e^{-\frac{1}{2}})=-\frac{1}{2e}$f(e−21​)=−2e1​，没有极大值。
• 讲评：得分点有四个——定义域、乘积求导、驻点两侧导数的符号、结论（两个区间分开写，极值写函数值）。见第 13 节。