解答题突破（三）：三角函数化简与解三角形

本节导读

三角解答题分两路。一路是把一个三角函数式化成正弦型函数，第 17 节《三角函数的图像与性质》导读说，解答题「常常先把式子化成 $A\sin(\omega x + \varphi)$Asin(ωx+φ) 的形式，再求周期、单调区间和最大值最小值」；另一路在三角形里，第 18 节《解三角形》导读说它在「解答题里也经常出现」。化简要用的公式在第 15 节《同角关系与诱导公式》和第 16 节《两角和与差、二倍角公式》。

这几节各管一段：第 15、16 节讲公式，第 17 节讲图像与性质，第 18 节讲解三角形，第 16、17、18 节的例题都是选择题。这一节把它们接起来：先列两条固定步骤，再按「化简求性质」「已知边角求边角面积」「边角混合先互化」三种题型，各给一道原创多小问题，逐行写出卷面。学完要做到：化简一步一行，化到只剩一个正弦再读性质；写角一定带上范围；解三角形先写定理原式再代数。

这一块在试卷里怎么考

解答题一共 4 道，加起来 49 分，各题分值不一样，这是第 1 节《考试介绍与备考方法》表格里的数，只作参考，以当年大纲和浙江省教育考试院公告为准。同一节的内容表里，「三角函数、平面向量」那一行写着「选择、填空、解答题都有」。三角解答题占几分、出哪一路，各资料说法不一，这里不写死。

问法：函数一路，化简以后问最小正周期、最大最小值（有时限定在一个区间上）、单调区间；解三角形一路，要求的是边长、角或面积，给的条件可能是几个数值，也可能是一个边角混写的等式。

容易丢分的有五处（第 16、17、18 节易错提醒）：辅助角公式漏了提出来的系数；周期没按 $\omega$ω 算；单调区间漏写 $k\in\mathbf{Z}$k∈Z；由正弦值求角只写一个；面积公式漏了夹角的正弦。

方法归纳

化简求性质照下面四步，「出处」是主线课节：

步骤	做什么	出处
① 统一角	有和差角先展开；有 $\sin^2x$sin2x、$\cos^2x$cos2x、$\sin x\cos x$sinxcosx 就降幂、用二倍角，化成含 $2x$2x 的式子	第 15、16 节
② 合并	化成 $a\sin\omega x+b\cos\omega x+k$asinωx+bcosωx+k，提出 $\sqrt{a^2+b^2}$a2+b2​，逆用和差公式得 $A\sin(\omega x+\varphi)+k$Asin(ωx+φ)+k	第 16 节
③ 读性质	周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$T=ω2π​；最大值 $A+k$A+k，最小值 $-A+k$−A+k	第 17 节
④ 单调区间、区间上的最值	把 $\omega x+\varphi$ωx+φ 看成一个整体，代入正弦的单调区间；给了区间先求整体的范围，再看正弦图像	第 17 节

解三角形照下面三步：

步骤	做什么	出处
① 互化	边角混在一个等式里，用 $a=2R\sin A$a=2RsinA 化成角，或用余弦定理化成边；化成角以后，$\sin(A+C)=\sin B$sin(A+C)=sinB 很有用	第 15、16、18 节
② 选定理	照第 18 节「怎样选定理」那张表：两角一边、两边一对角用正弦定理，两边夹角、三边用余弦定理	第 18 节
③ 求面积	挑两条边，配上夹在它们中间那个角的正弦，代 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$S=21​absinC；两边各是多少求不出、只知道它们的和，就把和平方后整体代换	第 18 节

题型拆解

题型 1：化简后求周期、最值与单调区间

识别特征：给一个含 $\sin x$sinx、$\cos x$cosx 的乘积、平方或和差角的式子，问周期、最值或单调区间。

分步解法：照四步写，每用一个公式写一行。比如 $f(x)=\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+3\cos^2x$f(x)=sin2x+23​sinxcosx+3cos2x：先拿出 $\sin^2x+\cos^2x=1$sin2x+cos2x=1，$f(x)=1+2\cos^2x+\sqrt{3}\sin2x=2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+2$f(x)=1+2cos2x+3​sin2x=2+cos2x+3​sin2x=2sin(2x+6π​)+2，所以最小正周期是 $\pi$π，最大值 4，最小值 0。

常见陷阱：降幂时漏了常数，如 $2\cos^2x=1+\cos2x$2cos2x=1+cos2x 里的 1；求单调区间直接拿 $x$x 去套 $\sin x$sinx 的区间，没把 $\omega x+\varphi$ωx+φ 当整体；$x$x 的系数是负数时，没先把它变成正的。

题型 2：已知边、角，求边、角与面积

识别特征：条件是几条边、几个角的数值。

分步解法：先按条件选定理，写出定理原式再代数，最后求面积。比如 $a=5$a=5，$b=6$b=6，$\cos C=\frac{3}{4}$cosC=43​：两边夹角，用余弦定理 $c^2=25+36-2\times5\times6\times\frac{3}{4}=16$c2=25+36−2×5×6×43​=16，$c=4$c=4；再由 $\sin C=\frac{\sqrt{7}}{4}$sinC=47​​ 得面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{15\sqrt{7}}{4}$S=21​absinC=4157​​。

常见陷阱：由正弦值求角只写锐角，或者锐角、钝角都写却不检验内角和（第 18 节易错提醒）；求出 $c^2$c2 忘了开方。

题型 3：边角混合的等式，先互化再求解

识别特征：条件是一个边和角混在一起的等式，比如含有 $a\cos C$acosC、$b\sin A$bsinA 这样的项。

分步解法：多数时候边化角更顺：用正弦定理把 $a$a、$b$b、$c$c 换成 $2R\sin A$2RsinA、$2R\sin B$2RsinB、$2R\sin C$2RsinC，再用和角公式和内角和整理。比如 $a=2b\cos C$a=2bcosC：化成 $\sin A=2\sin B\cos C$sinA=2sinBcosC，而 $\sin A=\sin(B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，整理得 $\sin(C-B)=0$sin(C−B)=0，所以 $B=C$B=C，三角形是等腰三角形。

常见陷阱：两边约去 $\sin B$sinB 前，不写「$\sin B\ne0$sinB=0」；由余弦值求出角，不写角的范围就下结论。

易错提醒

• ❌ 式子里还有 $\sin x\cos x$sinxcosx 或 $\cos^2x$cos2x，就去读周期、最值。✅ 一直化到整个式子只剩一个正弦型函数加常数，周期、最值都从这一个式子上读；两项各自的最大值相加，一般不是和的最大值。

• ❌ 给了区间求最值，直接写最大值 $A+k$A+k、最小值 $-A+k$−A+k。✅ 先求 $\omega x+\varphi$ωx+φ 在这个区间上的范围，再看正弦在这一段里取到多大、多小。

• ❌ 面积写成 $\frac{1}{2}ab$21​ab，或者用了两边以外的那个角。✅ 用哪两条边，就乘它们夹角的正弦：用 $a$a、$b$b 配 $\sin C$sinC（第 18 节）。