集合与简易逻辑

本节导读

集合与简易逻辑是整张试卷里最容易拿分的部分：集合的运算常常出一道选择题，充分条件与必要条件也常常出一道选择题，题目都比较基础。很多考生在这里丢分，不是不会，而是粗心——漏了空集、搞错端点、把「充分」和「必要」说反。

这一节分两块。第一块讲集合的表示、子集与真子集、交集并集补集；第二块讲充分条件、必要条件和充要条件的判断。学完以后你应该能做到：看到一个集合，马上弄清里面有什么元素；会借助数轴和区间做集合运算；拿到两个条件，几秒钟判断出谁推出谁。

集合的概念与表示

基本概念

把一些确定的、互不相同的对象放在一起，就组成一个集合，其中的每个对象叫做这个集合的元素。元素 $a$a 属于集合 $A$A 记作 $a \in A$a∈A，不属于记作 $a \notin A$a∈/A。集合中的元素有三个特性：

• 确定性：给定一个对象，它在不在集合里是明确的。
• 互异性：同一个集合里的元素互不相同，重复的只算一个。
• 无序性：元素的排列顺序不影响集合，$\{1, 2\}${1,2} 与 $\{2, 1\}${2,1} 是同一个集合。

常用的数集有固定的记号：

记号	名称	例
$\mathbf{N}$N	自然数集（含 0）	$0, 1, 2, \cdots$0,1,2,⋯
$\mathbf{N}^{*}$N∗	正整数集	$1, 2, 3, \cdots$1,2,3,⋯
$\mathbf{Z}$Z	整数集	$-1, 0, 1$−1,0,1
$\mathbf{Q}$Q	有理数集	$\frac{1}{2}, -3$21​,−3
$\mathbf{R}$R	实数集	$\sqrt{2}, \pi$2​,π

不含任何元素的集合叫空集，记作 $\varnothing$∅。

列举法、描述法和区间

列举法把元素一个个写在大括号里，如 $\{1, 2, 3\}${1,2,3}。描述法写出元素满足的条件，如 $\{x \mid x > 2\}${x∣x>2} 表示「所有大于 2 的实数 $x$x 组成的集合」，竖线前面是代表元素，后面是条件。

当集合是一段连续的实数时，可以用区间表示：

集合	区间	名称
$\{x \mid a < x < b\}${x∣a<x<b}	$(a, b)$(a,b)	开区间
$\{x \mid a \le x \le b\}${x∣a≤x≤b}	$[a, b]$[a,b]	闭区间
$\{x \mid a \le x < b\}${x∣a≤x<b}	$[a, b)$[a,b)	半开半闭区间
$\{x \mid x > a\}${x∣x>a}	$(a, +\infty)$(a,+∞)	无限区间
$\{x \mid x \le b\}${x∣x≤b}	$(-\infty, b]$(−∞,b]	无限区间

记住：带等号的端点用方括号，不带等号的端点用圆括号，$\infty$∞ 永远用圆括号。在数轴上，带等号画实心点，不带等号画空心点。

集合之间的关系

如果集合 $A$A 的每一个元素都属于集合 $B$B，就说 $A$A 是 $B$B 的子集，记作 $A \subseteq B$A⊆B。如果 $A \subseteq B$A⊆B，并且 $B$B 里至少有一个元素不属于 $A$A，就说 $A$A 是 $B$B 的真子集，记作 $A \subsetneq B$A⊊B。如果 $A \subseteq B$A⊆B 且 $B \subseteq A$B⊆A，则 $A = B$A=B。

关于空集和个数，有三条要记牢：

• 空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。
• 集合本身是它自己的子集，但不是它自己的真子集。
• 含有 $n$n 个元素的集合有 $2^n$2n 个子集，其中有 $2^n - 1$2n−1 个真子集。

例如 $\{a, b, c\}${a,b,c} 有 $2^3 = 8$23=8 个子集：$\varnothing$∅，$\{a\}${a}，$\{b\}${b}，$\{c\}${c}，$\{a, b\}${a,b}，$\{a, c\}${a,c}，$\{b, c\}${b,c}，$\{a, b, c\}${a,b,c}；去掉它本身，剩下 7 个真子集。

集合的运算

三种基本运算的定义如下，其中 $U$U 表示全集：

运算	记号	含义
交集	$A \cap B$A∩B	属于 $A$A 且属于 $B$B 的元素
并集	$A \cup B$A∪B	属于 $A$A 或属于 $B$B 的元素
补集	$\complement_U A$∁U​A	在 $U$U 中但不在 $A$A 中的元素

做运算时有两种好用的工具：元素是有限个时，把元素一个个对照，或者画 Venn 图；元素是连续的实数时，画数轴，把每个集合对应的线段画出来，交集看重叠的部分，并集看覆盖的部分。

几个常用的结论：$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$A∩B⊆A⊆A∪B；$A \cap \varnothing = \varnothing$A∩∅=∅；$A \cup \varnothing = A$A∪∅=A；$A \cap \complement_U A = \varnothing$A∩∁U​A=∅；$A \cup \complement_U A = U$A∪∁U​A=U。

例如 $A = \{1, 2, 3, 4\}$A={1,2,3,4}，$B = \{3, 4, 5\}$B={3,4,5}，则 $A \cap B = \{3, 4\}$A∩B={3,4}，$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$A∪B={1,2,3,4,5}。若全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$U={1,2,3,4,5}，则 $\complement_U A = \{5\}$∁U​A={5}。

简易逻辑：充分条件与必要条件

概念和判断方法

如果「若 $p$p 则 $q$q」是真命题，即由 $p$p 能推出 $q$q，记作 $p \Rightarrow q$p⇒q，就说 $p$p 是 $q$q 的充分条件，$q$q 是 $p$p 的必要条件。如果 $p \Rightarrow q$p⇒q 与 $q \Rightarrow p$q⇒p 同时成立，记作 $p \Leftrightarrow q$p⇔q，就说 $p$p 是 $q$q 的充要条件。

判断时只需要看两个方向的推理是否成立：

$p \Rightarrow q$p⇒q	$q \Rightarrow p$q⇒p	$p$p 与 $q$q 的关系
成立	不成立	$p$p 是 $q$q 的充分不必要条件
不成立	成立	$p$p 是 $q$q 的必要不充分条件
成立	成立	$p$p 是 $q$q 的充要条件
不成立	不成立	$p$p 是 $q$q 的既不充分也不必要条件

一个推理不成立，只要举出一个反例就能说明。

用集合的包含关系判断

设满足 $p$p 的元素组成集合 $P$P，满足 $q$q 的元素组成集合 $Q$Q，则：

• $P \subseteq Q$P⊆Q 等价于 $p \Rightarrow q$p⇒q；
• $P \subsetneq Q$P⊊Q 时，$p$p 是 $q$q 的充分不必要条件；
• $P = Q$P=Q 时，$p$p 与 $q$q 互为充要条件。

口诀：小范围推大范围。例如 $p$p：$x > 2$x>2，$q$q：$x > 1$x>1。$P = (2, +\infty)$P=(2,+∞) 比 $Q = (1, +\infty)$Q=(1,+∞) 小，所以 $p \Rightarrow q$p⇒q，$p$p 是 $q$q 的充分不必要条件。

易错提醒

• ❌ 已知 $B \subseteq A$B⊆A，直接设 $B$B 非空去求参数。
  ✅ 空集是任何集合的子集，要先讨论 $B = \varnothing$B=∅ 的情形，再讨论 $B \neq \varnothing$B=∅ 的情形。

• ❌ 把 $\{x \mid y = x^2\}${x∣y=x2} 和 $\{y \mid y = x^2\}${y∣y=x2} 当成同一个集合。
  ✅ 前者的代表元素是 $x$x，是函数的定义域 $\mathbf{R}$R；后者的代表元素是 $y$y，是值域 $[0, +\infty)$[0,+∞)。

• ❌ 求出参数后，不检查元素是否互异。
  ✅ 集合 $\{1, a\}${1,a} 中必须 $a \neq 1$a=1，求出的参数要代回去检验。

• ❌ 把「$p$p 是 $q$q 的充分条件」理解成 $q \Rightarrow p$q⇒p。
  ✅ 充分条件是「条件充分，能推出结论」，即 $p \Rightarrow q$p⇒q；$p$p 是 $q$q 的必要条件则是 $q \Rightarrow p$q⇒p。

• ❌ 端点处理不当，如把 $[2, 3)$[2,3) 写成 $[2, 3]$[2,3]。
  ✅ 逐个端点检查：带等号用方括号，不带等号用圆括号。

例题精讲

例题 1

已知集合 $A = \{x \mid -1 < x < 3\}$A={x∣−1<x<3}，$B = \{x \mid 2 \le x \le 5\}$B={x∣2≤x≤5}，则 $A \cap B$A∩B 等于（　　）

A. $[2, 3)$[2,3)　　B. $(2, 3]$(2,3]　　C. $(-1, 5]$(−1,5]　　D. $[-1, 2]$[−1,2]

答案：A

解析：画数轴。$A$A 是 $-1$−1 到 $3$3 之间的线段，两端空心；$B$B 是 $2$2 到 $5$5 之间的线段，两端实心。两段重叠的部分是 $2 \le x < 3$2≤x<3：左端点 $2$2 属于 $B$B，也满足 $A$A 的条件，所以带等号；右端点 $3$3 不属于 $A$A，不带等号。故 $A \cap B = [2, 3)$A∩B=[2,3)，选 A。C 其实是并集 $A \cup B$A∪B，D 的端点和范围都不对。

例题 2

已知集合 $A = \{1, 2\}$A={1,2}，$B = \{x \mid ax - 1 = 0\}$B={x∣ax−1=0}，若 $B \subseteq A$B⊆A，则实数 $a$a 的取值集合是（　　）

A. $\{1, \frac{1}{2}\}${1,21​}　　B. $\{0, 1, \frac{1}{2}\}${0,1,21​}　　C. $\{0, 1\}${0,1}　　D. $\{0, 2\}${0,2}

答案：B

解析：分两种情形。(1) $B = \varnothing$B=∅：方程 $ax - 1 = 0$ax−1=0 无解，只有 $a = 0$a=0 时才无解（方程变成 $-1 = 0$−1=0），此时 $B \subseteq A$B⊆A 成立。(2) $B \neq \varnothing$B=∅：此时 $a \neq 0$a=0，解得 $x = \frac{1}{a}$x=a1​，要使 $B \subseteq A$B⊆A，需要 $\frac{1}{a} = 1$a1​=1 或 $\frac{1}{a} = 2$a1​=2，得 $a = 1$a=1 或 $a = \frac{1}{2}$a=21​。综合两种情形，$a$a 的取值集合是 $\{0, 1, \frac{1}{2}\}${0,1,21​}，选 B。A 漏掉了空集的情形。

例题 3

“$x > 2$x>2”是“$x^2 > 4$x2>4”的（　　）

A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件

答案：A

解析：先看 $x > 2 \Rightarrow x^2 > 4$x>2⇒x2>4：成立。再看 $x^2 > 4 \Rightarrow x > 2$x2>4⇒x>2：由 $x^2 > 4$x2>4 得 $x > 2$x>2 或 $x < -2$x<−2，例如 $x = -3$x=−3 满足 $x^2 > 4$x2>4 却不满足 $x > 2$x>2，所以不成立。只有一个方向成立，“$x > 2$x>2”是“$x^2 > 4$x2>4”的充分不必要条件，选 A。

本节小结

• 集合的元素具有确定性、互异性、无序性；常用数集 $\mathbf{N}$N、$\mathbf{N}^{*}$N∗、$\mathbf{Z}$Z、$\mathbf{Q}$Q、$\mathbf{R}$R 的记号要认得。
• $n$n 个元素的集合有 $2^n$2n 个子集、$2^n - 1$2n−1 个真子集；空集是任何集合的子集。
• 交集取公共部分，并集取全部，补集是相对全集而言；连续数集用数轴，端点逐个检查。
• $p \Rightarrow q$p⇒q 时，$p$p 是 $q$q 的充分条件，$q$q 是 $p$p 的必要条件；判断时两个方向都要看。
• 用集合判断条件：小范围推大范围，范围小的一方是充分条件。