三角函数的图像与性质

本节导读

三角函数的图像与性质几乎每年都考：选择题、填空题常问周期、最值、单调区间、奇偶性和图像的平移，解答题则常常先把式子化成 $A\sin(\omega x + \varphi)$Asin(ωx+φ) 的形式，再求周期、单调区间和最大值最小值。

学完这一节，你应该能记住三个基本三角函数的性质，会用公式求正弦型函数的周期和最值，会判断图像平移的方向和长度，并能写出单调区间。

三个基本三角函数的性质

定义域、值域、周期和奇偶性

性质	$y = \sin x$y=sinx	$y = \cos x$y=cosx	$y = \tan x$y=tanx
定义域	$\mathbf{R}$R	$\mathbf{R}$R	$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$x=2π​+kπ
值域	$[-1, 1]$[−1,1]	$[-1, 1]$[−1,1]	$\mathbf{R}$R
最小正周期	$2\pi$2π	$2\pi$2π	$\pi$π
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
图像对称性	关于原点对称	关于 $y$y 轴对称	关于原点对称

以上表格里的 $k$k 都是整数，即 $k \in \mathbf{Z}$k∈Z。

单调性和最值

性质	$y = \sin x$y=sinx	$y = \cos x$y=cosx
增区间	$\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$[−2π​+2kπ,2π​+2kπ]	$[-\pi + 2k\pi, 2k\pi]$[−π+2kπ,2kπ]
减区间	$\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$[2π​+2kπ,23π​+2kπ]	$[2k\pi, \pi + 2k\pi]$[2kπ,π+2kπ]
最大值 $1$1	$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$x=2π​+2kπ 时取得	$x = 2k\pi$x=2kπ 时取得
最小值 $-1$−1	$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$x=−2π​+2kπ 时取得	$x = \pi + 2k\pi$x=π+2kπ 时取得

正切函数 $y = \tan x$y=tanx 在每一个区间 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$(−2π​+kπ,2π​+kπ) 上都是增函数，没有最大值和最小值。

五点法作图

在一个周期 $[0, 2\pi]$[0,2π] 内，抓住五个关键点就能画出正弦曲线、余弦曲线：

点的横坐标	$0$0	$\dfrac{\pi}{2}$2π​	$\pi$π	$\dfrac{3\pi}{2}$23π​	$2\pi$2π
$\sin x$sinx	$0$0	$1$1	$0$0	$-1$−1	$0$0
$\cos x$cosx	$1$1	$0$0	$-1$−1	$0$0	$1$1

正弦型函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$y=Asin(ωx+φ)

各量的含义

设 $A > 0$A>0，$\omega > 0$ω>0，函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$y=Asin(ωx+φ) 叫正弦型函数：

• $A$A 叫振幅，最大值是 $A$A，最小值是 $-A$−A；
• 最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$T=ω2π​；
• $\omega x + \varphi$ωx+φ 叫相位，$\varphi$φ 叫初相。

对 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$y=Acos(ωx+φ) 的周期也是 $\dfrac{2\pi}{\omega}$ω2π​，对 $y = A\tan(\omega x + \varphi)$y=Atan(ωx+φ) 的周期是 $\dfrac{\pi}{\omega}$ωπ​。如果 $\omega < 0$ω<0，周期用 $\dfrac{2\pi}{\lvert\omega\rvert}$∣ω∣2π​ 计算。

例：$y = 3\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$y=3sin(2x+3π​) 的振幅是 $3$3，周期 $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$T=22π​=π，最大值 $3$3，最小值 $-3$−3。

图像的平移

由 $y = \sin x$y=sinx 的图像得到 $y = \sin(x + \varphi)$y=sin(x+φ) 的图像：$\varphi > 0$φ>0 时向左平移 $\varphi$φ 个单位，$\varphi < 0$φ<0 时向右平移 $\lvert\varphi\rvert$∣φ∣ 个单位，口诀「左加右减」。

关键提醒：平移是针对 $x$x 本身而言的。当 $\omega \ne 1$ω=1 时，要先把 $x$x 的系数提出来。例如 $y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin 2\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)$y=sin(2x+3π​)=sin2(x+6π​)，它是由 $y = \sin 2x$y=sin2x 向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$6π​ 个单位得到的，不是 $\dfrac{\pi}{3}$3π​ 个单位。