导数的概念与运算

本节导读

导数是高起点数学里「新」一点的内容，但考法很固定：选择题、填空题里求导数、求某点的导数值、求切线的斜率或方程；解答题则用导数研究函数的单调性、极值和最值。这一节先学「求」：导数的概念、求导公式、求导法则和切线；下一节再学「用」。

学完这一节，你应该能说出导数的几何意义，会用公式和法则求多项式函数、幂函数和简单分式函数的导数，并会写出曲线在某点处的切线方程。

导数的概念

函数 $y = f(x)$y=f(x) 在 $x = x_0$x=x0​ 处的瞬时变化率叫做函数在这一点的导数，记作 $f'(x_0)$f′(x0​)：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

如果函数在区间内每一点都有导数，那么导数 $f'(x)$f′(x) 本身也是 $x$x 的函数，叫做导函数，简称导数。导数有两层意义：

• 物理意义：位移 $s$s 对时间 $t$t 的导数 $s'(t)$s′(t) 是瞬时速度；
• 几何意义：曲线 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $P(x_0, f(x_0))$P(x0​,f(x0​)) 处的切线的斜率等于 $f'(x_0)$f′(x0​)。

例：用定义求 $f(x) = x^2$f(x)=x2 在 $x = 1$x=1 处的导数。$\dfrac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \dfrac{(1 + \Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = 2 + \Delta x$Δxf(1+Δx)−f(1)​=Δx(1+Δx)2−1​=2+Δx，当 $\Delta x \to 0$Δx→0 时趋近于 $2$2，所以 $f'(1) = 2$f′(1)=2。

求导公式与法则

基本公式

考试里以多项式函数、幂函数为主，下面的公式必须熟记：

函数	导数
$y = C$y=C（常数）	$y' = 0$y′=0
$y = x^n$y=xn	$y' = nx^{n-1}$y′=nxn−1
$y = \dfrac{1}{x}$y=x1​	$y' = -\dfrac{1}{x^2}$y′=−x21​
$y = \sqrt{x}$y=x​	$y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$y′=2x​1​

后两行是 $x^n$xn 公式的特例：$\dfrac{1}{x} = x^{-1}$x1​=x−1，$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$x​=x21​。其他初等函数的导数，如 $(\sin x)' = \cos x$(sinx)′=cosx，$(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$(ex)′=ex，$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$(lnx)′=x1​，了解即可，具体范围以当年大纲为准。

四则运算法则

设 $u$u、$v$v 都是 $x$x 的可导函数，则有：

法则	公式
和差	$(u \pm v)' = u' \pm v'$(u±v)′=u′±v′
常数倍	$(Cu)' = Cu'$(Cu)′=Cu′
积	$(uv)' = u'v + uv'$(uv)′=u′v+uv′
商	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​（$v \ne 0$v=0）

例 1：$y = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$y=3x4−2x2+5x−1，逐项求导：$y' = 12x^3 - 4x + 5$y′=12x3−4x+5（常数项 $-1$−1 的导数是 $0$0）。

例 2：$y = x^2(x + 1)$y=x2(x+1)，用积的法则：$y' = 2x(x + 1) + x^2 \cdot 1 = 3x^2 + 2x$y′=2x(x+1)+x2⋅1=3x2+2x。也可以先展开 $y = x^3 + x^2$y=x3+x2 再求导，结果相同。

例 3：$y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$y=x−1x+1​，用商的法则：$y' = \dfrac{1 \cdot (x - 1) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-2}{(x - 1)^2}$y′=(x−1)21⋅(x−1)−(x+1)⋅1​=(x−1)2−2​。

导数的几何意义与切线方程

曲线 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​) 处的切线斜率是 $k = f'(x_0)$k=f′(x0​)，所以切线方程是点斜式：

$$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$y−y0​=f′(x0​)(x−x0​)