函数的概念、定义域与值域

本节导读

函数是整门课的主线，后面的指数函数、对数函数、三角函数、数列、导数都建立在它的基础上。这一节在试卷里的考法很固定：选择题、填空题里求函数的定义域（含根式、分式、对数）、求函数值（含分段函数）、求值域，或者判断两个函数是不是同一个函数。

学完这一节，你应该能说清函数的三要素，能根据式子列出使它有意义的条件求定义域，会用配方法、单调性等方法求简单函数的值域，会计算分段函数的值。

函数的概念

定义和三要素

设 $A$A、$B$B 是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系 $f$f，对于集合 $A$A 中的每一个数 $x$x，在集合 $B$B 中都有唯一确定的数 $f(x)$f(x) 和它对应，就称 $f$f 为从 $A$A 到 $B$B 的一个函数，记作 $y = f(x)$y=f(x)，$x \in A$x∈A。其中 $x$x 叫自变量，$x$x 的取值范围 $A$A 叫定义域，所有函数值组成的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}${f(x)∣x∈A} 叫值域。

定义域、对应关系、值域叫做函数的三要素。因为值域由定义域和对应关系决定，所以判断两个函数是不是同一个函数，只看两点：定义域相同，对应关系相同。至于自变量用什么字母，不影响函数本身。

• $f(x) = x$f(x)=x 与 $g(x) = (\sqrt{x})^2$g(x)=(x​)2 不同：前者定义域是 $\mathbf{R}$R，后者定义域是 $[0, +\infty)$[0,+∞)。
• $f(x) = x$f(x)=x 与 $g(x) = \dfrac{x^2}{x}$g(x)=xx2​ 不同：后者要求 $x \ne 0$x=0。
• $f(x) = x$f(x)=x 与 $g(t) = t$g(t)=t 是同一个函数，字母不同不影响。

求函数值就是把自变量的值代进去。例如 $f(x) = x^2 - 2x$f(x)=x2−2x，则 $f(3) = 9 - 6 = 3$f(3)=9−6=3，$f(a + 1) = (a + 1)^2 - 2(a + 1) = a^2 - 1$f(a+1)=(a+1)2−2(a+1)=a2−1。

函数的表示法

函数有三种表示法：解析法（用式子表示）、列表法、图像法。考试里最常见的是解析法，其中分段函数要特别注意：在定义域的不同部分用不同的式子表示，求值时必须先判断自变量落在哪一段，再代入对应的式子。

例如：

$$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$$f(x)={x+1,x2,​x<0x≥0​

求 $f(-2)$f(−2)：因为 $-2 < 0$−2<0，用第一段，$f(-2) = -1$f(−2)=−1。求 $f(3)$f(3)：因为 $3 \ge 0$3≥0，用第二段，$f(3) = 9$f(3)=9。求 $f(f(-2))$f(f(−2))：先算里面的 $f(-2) = -1$f(−2)=−1，再算 $f(-1) = 0$f(−1)=0。

函数的定义域

定义域就是使式子有意义的所有 $x$x 组成的集合。做题时先看式子里有哪些「要小心的结构」，把每个结构的要求列成不等式（组），再解出来取公共部分：

结构	要求
分式 $\dfrac{1}{g(x)}$g(x)1​	$g(x) \ne 0$g(x)=0
偶次根式 $\sqrt{g(x)}$g(x)​	$g(x) \ge 0$g(x)≥0
零次幂 $[g(x)]^0$[g(x)]0	$g(x) \ne 0$g(x)=0
对数 $\log_a g(x)$loga​g(x)	$g(x) > 0$g(x)>0（$a > 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1）
实际问题中的函数	还要符合实际意义，如长度大于 0

例 1：求 $f(x) = \sqrt{x + 1} + \dfrac{1}{x - 2}$f(x)=x+1​+x−21​ 的定义域。要求 $x + 1 \ge 0$x+1≥0 且 $x - 2 \ne 0$x−2=0，即 $x \ge -1$x≥−1 且 $x \ne 2$x=2，定义域是 $[-1, 2) \cup (2, +\infty)$[−1,2)∪(2,+∞)。

例 2：求 $f(x) = \lg(3 - x) + \sqrt{x + 2}$f(x)=lg(3−x)+x+2​ 的定义域。要求 $3 - x > 0$3−x>0 且 $x + 2 \ge 0$x+2≥0，即 $x < 3$x<3 且 $x \ge -2$x≥−2，定义域是 $[-2, 3)$[−2,3)。

抽象函数的定义域有一个固定的规律：同一个对应关系 $f$f 作用的对象，范围是一样的。例如已知 $f(x)$f(x) 的定义域是 $[0, 2]$[0,2]，求 $f(2x - 1)$f(2x−1) 的定义域：括号里的整体 $2x - 1$2x−1 要落在 $[0, 2]$[0,2] 内，即 $0 \le 2x - 1 \le 2$0≤2x−1≤2，解得 $\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}$21​≤x≤23​，所求定义域是 $\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]$[21​,23​]。

函数的值域

值域的求法要看函数的类型，初学阶段掌握下面三种就够了：

方法	适用	例子
直接观察	式子的范围一眼能看出	$y = \sqrt{x} + 1 \ge 1$y=x​+1≥1，值域 $[1, +\infty)$[1,+∞)
配方法	二次函数	$y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 \ge 2$y=x2−2x+3=(x−1)2+2≥2
单调性	给定区间上的一次函数等	$y = 2x - 1$y=2x−1，$x \in [1, 3]$x∈[1,3]，值域 $[1, 5]$[1,5]

配方法一定要看给定的区间。例如 $y = x^2 - 2x + 3$y=x2−2x+3 在 $[0, 3]$[0,3] 上：顶点 $x = 1$x=1 在区间内，最小值 $y = 2$y=2；两端点的函数值是 $y(0) = 3$y(0)=3 和 $y(3) = 6$y(3)=6，最大值取较大的 $6$6，所以值域是 $[2, 6]$[2,6]。

分式函数常用分离常数法：$y = \dfrac{x + 1}{x - 1} = 1 + \dfrac{2}{x - 1}$y=x−1x+1​=1+x−12​。因为 $\dfrac{2}{x - 1}$x−12​ 不可能等于 0，所以 $y \ne 1$y=1，值域是 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$(−∞,1)∪(1,+∞)。

易错提醒

• ❌ 求 $y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$y=x−1x2−1​ 的定义域时，先约分成 $y = x + 1$y=x+1，得到定义域 $\mathbf{R}$R。
  ✅ 定义域要按原式来求，原式要求 $x \ne 1$x=1，定义域是 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$(−∞,1)∪(1,+∞)。

• ❌ 已知 $f(x)$f(x) 的定义域是 $[0, 2]$[0,2]，就说 $f(2x - 1)$f(2x−1) 的定义域也是 $[0, 2]$[0,2]。
  ✅ 括号里的整体 $2x - 1$2x−1 才在 $[0, 2]$[0,2] 内，要解不等式 $0 \le 2x - 1 \le 2$0≤2x−1≤2，得 $x \in \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]$x∈[21​,23​]。

• ❌ 求 $y = x^2 - 2x$y=x2−2x 在 $[2, 4]$[2,4] 上的值域时，直接用顶点得最小值 $-1$−1。
  ✅ 顶点 $x = 1$x=1 不在区间 $[2, 4]$[2,4] 内，函数在区间上单调递增，值域是 $[0, 8]$[0,8]。

• ❌ 分段函数求值时不看自变量在哪一段，随便挑一个式子代。
  ✅ 先判断自变量属于哪个范围，注意分界点属于哪一段。

• ❌ 把定义域、值域写成不等式 $x > 1$x>1 就算完。
  ✅ 题目要求写出定义域或值域时，要写成集合或区间。

例题精讲

例题 1

函数 $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$f(x)=x−2x+1​​ 的定义域是（　　）

A. $[-1, +\infty)$[−1,+∞)　　B. $(-1, 2) \cup (2, +\infty)$(−1,2)∪(2,+∞)　　C. $[-1, 2) \cup (2, +\infty)$[−1,2)∪(2,+∞)　　D. $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$(−∞,2)∪(2,+∞)

答案：C

解析：根号下要非负，$x + 1 \ge 0$x+1≥0，得 $x \ge -1$x≥−1；分母不为 0，得 $x \ne 2$x=2。两个条件同时成立，定义域是 $[-1, 2) \cup (2, +\infty)$[−1,2)∪(2,+∞)，选 C。A 漏了 $x \ne 2$x=2，B 把 $-1$−1 去掉了（根号下等于 0 是允许的），D 漏了根号的要求。

例题 2

函数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$f(x)=x2−2x+3 在区间 $[0, 3]$[0,3] 上的值域是（　　）

A. $[2, 3]$[2,3]　　B. $[3, 6]$[3,6]　　C. $[2, 6]$[2,6]　　D. $[2, +\infty)$[2,+∞)

答案：C

解析：配方得 $f(x) = (x - 1)^2 + 2$f(x)=(x−1)2+2，对称轴 $x = 1$x=1 在区间内，最小值是 $f(1) = 2$f(1)=2。再比较两端点：$f(0) = 3$f(0)=3，$f(3) = 6$f(3)=6，最大值是 $6$6。所以值域是 $[2, 6]$[2,6]，选 C。D 忘了给定的区间只到 $x = 3$x=3。

例题 3

已知 $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \le 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$f(x)={x+2,x2,​x≤1x>1​，则 $f(f(-1))$f(f(−1)) 的值是（　　）

A. $1$1　　B. $2$2　　C. $3$3　　D. $4$4

答案：C

解析：先算里面：$-1 \le 1$−1≤1，用第一段，$f(-1) = -1 + 2 = 1$f(−1)=−1+2=1。再算 $f(1)$f(1)：分界点 $x = 1$x=1 属于第一段（$x \le 1$x≤1），所以 $f(1) = 1 + 2 = 3$f(1)=1+2=3。选 C。如果误用第二段，会得到 $1^2 = 1$12=1，错选 A。

本节小结

• 函数的三要素是定义域、对应关系、值域；两个函数相同，当且仅当定义域和对应关系都相同。
• 求定义域要抓住分式、偶次根式、零次幂、对数这些结构，列不等式组取公共部分，并且要按原式来求。
• 抽象函数 $f(g(x))$f(g(x)) 的定义域：整体 $g(x)$g(x) 的范围等于 $f$f 的定义域。
• 求值域常用观察法、配方法（要看给定区间）、单调性、分离常数法。
• 分段函数求值，先判断自变量在哪一段，再代入对应的式子。