不等式的解法

本节导读

解不等式是数学（理）的基本功：选择题、填空题里常直接问「不等式……的解集是什么」，集合题、函数定义域题也往往先要解一个不等式。这一节把几类常见不等式的解法放在一起：一元一次不等式（组）、绝对值不等式、一元二次不等式，再加上它们的小延伸——分式不等式。

学完这一节，你应该能熟练运用不等式的性质，会在数轴上取公共部分，会用「小于取中间、大于取两边」的口诀，并把解集规范地写成集合或区间。

不等式的基本性质

不等式的性质和等式很像，最大的区别是：乘以或除以负数时，不等号要改变方向。

性质	内容
传递性	$a > b$a>b，$b > c$b>c，则 $a > c$a>c
加减	$a > b$a>b，则 $a + c > b + c$a+c>b+c
乘正数	$a > b$a>b，$c > 0$c>0，则 $ac > bc$ac>bc
乘负数	$a > b$a>b，$c < 0$c<0，则 $ac < bc$ac<bc（方向改变）
同向相加	$a > b$a>b，$c > d$c>d，则 $a + c > b + d$a+c>b+d
同向相乘	$a > b > 0$a>b>0，$c > d > 0$c>d>0，则 $ac > bd$ac>bd

注意：同向不等式可以相加，但不能相减、相除。两边平方也有条件：由 $a > b$a>b 推不出 $a^2 > b^2$a2>b2（取 $a = 1$a=1，$b = -2$b=−2 就不行），必须先有 $a > b > 0$a>b>0。

一元一次不等式与不等式组

解一元一次不等式的步骤和解方程一样：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。只有在最后一步乘或除以负数时，不等号才要改向。

例如 $-2x + 6 < 0$−2x+6<0，移项得 $-2x < -6$−2x<−6，两边除以 $-2$−2，不等号改向，得 $x > 3$x>3。

解不等式组，先分别解出每个不等式，再在数轴上取公共部分。设 $a < b$a<b，四种基本情形可以用口诀记：

不等式组	解集	口诀
$x > a$x>a，$x > b$x>b	$x > b$x>b	同大取大
$x < a$x<a，$x < b$x<b	$x < a$x<a	同小取小
$x > a$x>a，$x < b$x<b	$a < x < b$a<x<b	大小小大中间找
$x < a$x<a，$x > b$x>b	无解	大大小小找不到

例如解不等式组：

$$\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ 5 - x \ge 1 \end{cases}$${2x−1>35−x≥1​

第一个不等式得 $x > 2$x>2，第二个得 $x \le 4$x≤4，取公共部分，解集是 $(2, 4]$(2,4]。

绝对值不等式

绝对值 $\lvert x \rvert$∣x∣ 表示数轴上 $x$x 到原点的距离。设 $a > 0$a>0：

不等式	解集	口诀
$\lvert x \rvert < a$∣x∣<a	$-a < x < a$−a<x<a	小于取中间
$\lvert x \rvert > a$∣x∣>a	$x < -a$x<−a 或 $x > a$x>a	大于取两边

把 $x$x 换成 $ax + b$ax+b 这样的整体，做法不变：$\lvert ax + b \rvert < c$∣ax+b∣<c（$c > 0$c>0）等价于 $-c < ax + b < c$−c<ax+b<c，$\lvert ax + b \rvert > c$∣ax+b∣>c 等价于 $ax + b < -c$ax+b<−c 或 $ax + b > c$ax+b>c。带等号时，解集的端点也带等号。

例如解 $\lvert 2x - 1 \rvert < 3$∣2x−1∣<3：化成 $-3 < 2x - 1 < 3$−3<2x−1<3，各边加 1 得 $-2 < 2x < 4$−2<2x<4，各边除以 2 得 $-1 < x < 2$−1<x<2，解集是 $(-1, 2)$(−1,2)。

再如解 $\lvert x - 2 \rvert \ge 1$∣x−2∣≥1：得 $x - 2 \ge 1$x−2≥1 或 $x - 2 \le -1$x−2≤−1，即 $x \ge 3$x≥3 或 $x \le 1$x≤1，解集是 $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$(−∞,1]∪[3,+∞)。

右边是负数时要单独想：$\lvert x \rvert$∣x∣ 小于一个负数，无解；$\lvert x \rvert$∣x∣ 大于一个负数，永远成立，解集是全体实数。

一元二次不等式

标准形和解集表

一元二次不等式要先化成 $ax^2 + bx + c > 0$ax2+bx+c>0 或 $ax^2 + bx + c < 0$ax2+bx+c<0 的形式，并且保证二次项系数 $a > 0$a>0（如果 $a < 0$a<0，两边乘 $-1$−1，不等号改向）。然后求对应方程 $ax^2 + bx + c = 0$ax2+bx+c=0 的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$Δ=b2−4ac 和根，对照下表写出解集（$a > 0$a>0）：

判别式	$\Delta > 0$Δ>0	$\Delta = 0$Δ=0	$\Delta < 0$Δ<0
方程的根	两个不等实根 $x_1 < x_2$x1​<x2​	两个相等实根 $x_1 = x_2$x1​=x2​	无实根
$ax^2 + bx + c > 0$ax2+bx+c>0 的解集	$x < x_1$x<x1​ 或 $x > x_2$x>x2​	$x \ne x_1$x=x1​	全体实数 $\mathbf{R}$R
$ax^2 + bx + c < 0$ax2+bx+c<0 的解集	$x_1 < x < x_2$x1​<x<x2​	无解	无解

口诀：大于取两边，小于取中间。理由是：$a > 0$a>0 时，函数 $y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c 的图像是开口向上的抛物线，在两根之外位于 $x$x 轴上方，在两根之间位于 $x$x 轴下方。不等号带等号时，根也要取进去。

例 1：解 $x^2 - 3x - 4 < 0$x2−3x−4<0。因式分解得 $(x - 4)(x + 1) < 0$(x−4)(x+1)<0，两根是 $-1$−1 和 $4$4，小于取中间，解集是 $(-1, 4)$(−1,4)。

例 2：解 $-x^2 + 2x + 3 \ge 0$−x2+2x+3≥0。两边乘 $-1$−1，不等号改向，得 $x^2 - 2x - 3 \le 0$x2−2x−3≤0，即 $(x - 3)(x + 1) \le 0$(x−3)(x+1)≤0，解集是 $[-1, 3]$[−1,3]。

分式不等式

分式不等式不能直接去分母，因为不知道分母的正负。转化的办法是：

• $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$g(x)f(x)​>0 等价于 $f(x) \cdot g(x) > 0$f(x)⋅g(x)>0；
• $\dfrac{f(x)}{g(x)} \ge 0$g(x)f(x)​≥0 等价于 $f(x) \cdot g(x) \ge 0$f(x)⋅g(x)≥0 且 $g(x) \ne 0$g(x)=0。

例如解 $\dfrac{x - 1}{x + 2} > 0$x+2x−1​>0：等价于 $(x - 1)(x + 2) > 0$(x−1)(x+2)>0，大于取两边，解集是 $(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$(−∞,−2)∪(1,+∞)。

易错提醒

• ❌ 解 $-2x < 6$−2x<6 时写成 $x < -3$x<−3。
  ✅ 两边除以负数 $-2$−2，不等号要改向，得 $x > -3$x>−3。

• ❌ 解不等式组时把两个解集合并起来。
  ✅ 不等式组要求同时成立，取的是公共部分（交集）。

• ❌ 把 $\lvert x \rvert > 2$∣x∣>2 的解集写成 $-2 < x < 2$−2<x<2。
  ✅ 大于取两边，应是 $x < -2$x<−2 或 $x > 2$x>2；小于才取中间。

• ❌ 二次项系数是负数时，直接套用「大于取两边」。
  ✅ 先两边乘 $-1$−1，把二次项系数化成正数，同时不等号改向，再套口诀。

• ❌ 解 $\dfrac{x - 1}{x + 2} \ge 0$x+2x−1​≥0 时，得到 $(x - 1)(x + 2) \ge 0$(x−1)(x+2)≥0 就直接写解集。
  ✅ 分母不能为 0，要去掉 $x = -2$x=−2，解集是 $(-\infty, -2) \cup [1, +\infty)$(−∞,−2)∪[1,+∞)。

例题精讲

例题 1

不等式组 $\begin{cases} x + 3 \ge 1 \\ 2x - 1 < 7 \end{cases}${x+3≥12x−1<7​ 的解集是（　　）

A. $[-2, 4)$[−2,4)　　B. $(-2, 4]$(−2,4]　　C. $[-2, 4]$[−2,4]　　D. $(-\infty, -2] \cup [4, +\infty)$(−∞,−2]∪[4,+∞)

答案：A

解析：第一个不等式 $x + 3 \ge 1$x+3≥1 得 $x \ge -2$x≥−2；第二个 $2x - 1 < 7$2x−1<7 得 $2x < 8$2x<8，即 $x < 4$x<4。取公共部分：$-2 \le x < 4$−2≤x<4。左端点 $-2$−2 带等号用方括号，右端点 $4$4 不带等号用圆括号，选 A。

例题 2

不等式 $\lvert 2x - 3 \rvert \le 5$∣2x−3∣≤5 的解集是（　　）

A. $(-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$(−∞,−1]∪[4,+∞)　　B. $(-1, 4)$(−1,4)　　C. $[-1, 4]$[−1,4]　　D. $[-4, 1]$[−4,1]

答案：C

解析：小于等于取中间：$-5 \le 2x - 3 \le 5$−5≤2x−3≤5，各边加 3 得 $-2 \le 2x \le 8$−2≤2x≤8，各边除以 2 得 $-1 \le x \le 4$−1≤x≤4，解集是 $[-1, 4]$[−1,4]。A 是大于取两边的错误写法，B 漏了等号，D 的数值算错了。

例题 3

不等式 $2x^2 - x - 3 > 0$2x2−x−3>0 的解集是（　　）

A. $\left(-1, \dfrac{3}{2}\right)$(−1,23​)　　B. $(-\infty, -1) \cup \left(\dfrac{3}{2}, +\infty\right)$(−∞,−1)∪(23​,+∞)　　C. $\left(-\dfrac{3}{2}, 1\right)$(−23​,1)　　D. $(-\infty, -\dfrac{3}{2}) \cup (1, +\infty)$(−∞,−23​)∪(1,+∞)

答案：B

解析：二次项系数 $2 > 0$2>0。对应方程 $2x^2 - x - 3 = 0$2x2−x−3=0 可分解为 $(2x - 3)(x + 1) = 0$(2x−3)(x+1)=0，两根是 $x = \dfrac{3}{2}$x=23​ 和 $x = -1$x=−1。大于取两边，所以解集是 $x < -1$x<−1 或 $x > \dfrac{3}{2}$x>23​，选 B。A 是「小于取中间」的结果，C、D 把两根的符号搞错了。

本节小结

• 不等式两边乘或除以负数，不等号改向；同向不等式可以相加，不能相减。
• 不等式组取公共部分：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。
• 绝对值不等式：小于取中间，大于取两边；把整体 $ax + b$ax+b 看成 $x$x 来处理。
• 一元二次不等式先把二次项系数化成正数，再求根，大于取两边，小于取中间。
• 分式不等式化成乘积形式，同时分母不能为 0。