解三角形

本节导读

解三角形是三角部分的应用，选择题、填空题里直接问边长、角、面积，解答题里也经常出现：给出三角形的一些边和角，求其余的边、角或面积。用到的工具就是三个：正弦定理、余弦定理和面积公式。

学完这一节，你应该能根据已知条件判断该用哪个定理，会处理「已知两边和其中一边的对角」时可能出现的两解情况，并能判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。

本节中 $\triangle ABC$△ABC 的三个内角 $A$A、$B$B、$C$C 所对的边分别记作 $a$a、$b$b、$c$c，外接圆半径记作 $R$R。

正弦定理

在任意三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，且等于外接圆的直径：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$sinAa​=sinBb​=sinCc​=2R

它主要解决两类问题：已知两角和任意一边，求其他的边和角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。别忘了三角形的内角和 $A + B + C = \pi$A+B+C=π，以及「大边对大角」。

例：已知 $A = 30^{\circ}$A=30∘，$B = 45^{\circ}$B=45∘，$a = 4$a=4，求 $b$b。由正弦定理 $b = \dfrac{a\sin B}{\sin A} = \dfrac{4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$b=sinAasinB​=21​4×22​​​=42​。

余弦定理

三角形任何一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \qquad \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$a2=b2+c2−2bccosA,cosA=2bcb2+c2−a2​

另外两个边角关系类似，把字母轮换即可。它主要解决两类问题：已知两边及夹角，求第三边；已知三边，求各角。

例 1：已知 $b = 3$b=3，$c = 5$c=5，$A = 60^{\circ}$A=60∘，求 $a$a。$a^2 = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = 19$a2=9+25−2×3×5×21​=19，所以 $a = \sqrt{19}$a=19​。

例 2：已知三边 $a = 3$a=3，$b = 5$b=5，$c = 7$c=7，求最大角 $C$C。$\cos C = \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = -\dfrac{1}{2}$cosC=2×3×59+25−49​=−21​，所以 $C = 120^{\circ}$C=120∘。

由余弦定理还能判断形状：设 $c$c 是最大边，则 $c^2 < a^2 + b^2$c2<a2+b2 时是锐角三角形，$c^2 = a^2 + b^2$c2=a2+b2 时是直角三角形，$c^2 > a^2 + b^2$c2>a2+b2 时是钝角三角形，因为此时 $\cos C$cosC 分别为正、零、负。

三角形的面积

三角形的面积等于两边与它们夹角正弦的积的一半：

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$S=21​absinC=21​bcsinA=21​acsinB

例：已知 $a = 4$a=4，$b = 5$b=5，$C = 30^{\circ}$C=30∘，则 $S = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = 5$S=21​×4×5×21​=5。已知 $b = 3$b=3，$c = 5$c=5，$A = 60^{\circ}$A=60∘，则 $S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$S=21​×3×5×23​​=4153​​。

怎样选定理

按已知条件选工具，是解三角形最关键的一步：

已知条件	选用的定理
两角和一边	正弦定理
两边和其中一边的对角	正弦定理（注意可能有两解）
两边和它们的夹角	余弦定理
三边	余弦定理

「两边和其中一边的对角」时解的个数要小心。设已知 $a$a、$b$b 和 $A$A（$A$A 为锐角），比较 $a$a 与 $b\sin A$bsinA 和 $b$b 的大小：

$a$a 的大小	解的个数
$a < b\sin A$a<bsinA	无解
$a = b\sin A$a=bsinA	一解（$B$B 是直角）
$b\sin A < a < b$bsinA<a<b	两解
$a \ge b$a≥b	一解