指数函数与对数函数

本节导读

指数函数和对数函数是高起点数学里的「老朋友」：几乎每年都有选择题考它们的图像和单调性、比较几个指数或对数的大小、求含对数的函数的定义域，也会有填空题解简单的指数方程、对数方程。

这一节的关键是抓住「底数 $a$a 与 1 的大小关系」：底数大于 1 和小于 1，函数的单调性正好相反。学完以后，你应该能背出两类函数的定义域、值域和过定点，会根据单调性比较大小，并会解简单的指数方程和对数方程。

指数函数

函数 $y = a^x$y=ax（$a > 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1）叫做指数函数。它的定义域是 $\mathbf{R}$R，值域是 $(0, +\infty)$(0,+∞)，图像都在 $x$x 轴上方，并且恒过点 $(0, 1)$(0,1)。

性质	$a > 1$a>1	$0 < a < 1$0<a<1
单调性	在 $\mathbf{R}$R 上是增函数	在 $\mathbf{R}$R 上是减函数
$x > 0$x>0 时	$y > 1$y>1	$0 < y < 1$0<y<1
$x < 0$x<0 时	$0 < y < 1$0<y<1	$y > 1$y>1

要注意，$y = 2^{-x}$y=2−x 可以改写成 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$y=(21​)x，底数是 $\dfrac{1}{2}$21​，所以它是减函数。

对数函数

函数 $y = \log_a x$y=loga​x（$a > 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1）叫做对数函数。它的定义域是 $(0, +\infty)$(0,+∞)，值域是 $\mathbf{R}$R，图像都在 $y$y 轴右侧，并且恒过点 $(1, 0)$(1,0)。

性质	$a > 1$a>1	$0 < a < 1$0<a<1
单调性	在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是增函数	在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是减函数
$x > 1$x>1 时	$y > 0$y>0	$y < 0$y<0
$0 < x < 1$0<x<1 时	$y < 0$y<0	$y > 0$y>0

指数函数 $y = a^x$y=ax 与对数函数 $y = \log_a x$y=loga​x 互为反函数，两个函数的图像关于直线 $y = x$y=x 对称。所以它们的定义域和值域正好互换，单调性也一致（底数相同时，同为增函数或同为减函数）。

比较大小的方法

比较指数或对数的大小，常用下面三种办法：

1. 同底数：用单调性。底数大于 1 时，指数（或真数）越大，函数值越大；底数在 0 与 1 之间时，正好相反。
2. 同指数不同底，或底数、真数都不同：先看能不能化成同底，否则找一个中间量来「架桥」，最常用的中间量是 $0$0 和 $1$1。
3. 先判断符号：指数函数值恒为正；对数值的正负看真数与 1 的关系。

举例。$2^{0.3} < 2^{0.5}$20.3<20.5（底数 2 大于 1，增函数）；$0.5^{0.3} > 0.5^{0.5}$0.50.3>0.50.5（底数 0.5 小于 1，减函数）；$\log_2 3 < \log_2 5$log2​3<log2​5；$\log_{0.5} 3 > \log_{0.5} 5$log0.5​3>log0.5​5。

再看一个用中间量的例子：设 $a = 2^{0.5}$a=20.5，$b = \log_2 0.5$b=log2​0.5，$c = 0.5^{0.5}$c=0.50.5。$a = 2^{0.5} > 2^0 = 1$a=20.5>20=1；$b = \log_2 0.5 = -1 < 0$b=log2​0.5=−1<0；$c = 0.5^{0.5} \in (0, 1)$c=0.50.5∈(0,1)。所以 $a > c > b$a>c>b。

简单的指数方程与对数方程

指数方程的思路是化成同底，或者换元。例如 $2^{x+1} = 8$2x+1=8，把 $8$8 写成 $2^3$23，得 $x + 1 = 3$x+1=3，$x = 2$x=2。再如 $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$4x−3⋅2x+2=0，令 $t = 2^x$t=2x（$t > 0$t>0），方程变成 $t^2 - 3t + 2 = 0$t2−3t+2=0，解得 $t = 1$t=1 或 $t = 2$t=2，即 $2^x = 1$2x=1 或 $2^x = 2$2x=2，所以 $x = 0$x=0 或 $x = 1$x=1。

对数方程的思路是把对数合并成一个，化成指数式，最后一定要检验真数是否大于 0。例如解 $\log_2 (x + 1) + \log_2 (x - 1) = 3$log2​(x+1)+log2​(x−1)=3：合并得 $\log_2 (x^2 - 1) = 3$log2​(x2−1)=3，所以 $x^2 - 1 = 8$x2−1=8，$x = 3$x=3 或 $x = -3$x=−3。检验：$x = -3$x=−3 时 $x + 1 = -2 < 0$x+1=−2<0，不满足真数大于 0，舍去。所以原方程的解是 $x = 3$x=3。

易错提醒

• ❌ 比较 $0.5^{0.3}$0.50.3 与 $0.5^{0.5}$0.50.5 时，认为指数大的函数值也大。
  ✅ 底数 $0.5$0.5 在 0 与 1 之间，函数是减函数，指数大的函数值反而小，$0.5^{0.3} > 0.5^{0.5}$0.50.3>0.50.5。

• ❌ 把对数函数 $y = \log_a x$y=loga​x 的定义域写成 $\mathbf{R}$R。
  ✅ 真数必须大于 0，定义域是 $(0, +\infty)$(0,+∞)；指数函数的定义域才是 $\mathbf{R}$R。

• ❌ 解对数方程，得到解以后就直接下结论。
  ✅ 变形过程中真数的范围可能变大，必须把解代回原方程检验真数是否大于 0。

• ❌ 比较不同底数的对数时，直接比较真数的大小。
  ✅ 底数不同不能直接比真数，应化成同底，或者用 $0$0、$1$1 当中间量。

• ❌ 函数 $y = (a - 1)^x$y=(a−1)x 是指数函数，只要求 $a - 1 \ne 1$a−1=1。
  ✅ 底数还要大于 0，所以 $a - 1 > 0$a−1>0 且 $a - 1 \ne 1$a−1=1，即 $a > 1$a>1 且 $a \ne 2$a=2。

例题精讲

例题 1

已知 $a = 2^{0.3}$a=20.3，$b = \log_2 0.3$b=log2​0.3，$c = 0.3^2$c=0.32，则 $a$a、$b$b、$c$c 的大小关系是（　　）

A. $a > b > c$a>b>c　　B. $a > c > b$a>c>b　　C. $c > a > b$c>a>b　　D. $b > c > a$b>c>a

答案：B

解析：用 $0$0 和 $1$1 当中间量。$a = 2^{0.3} > 2^0 = 1$a=20.3>20=1；$b = \log_2 0.3 < \log_2 1 = 0$b=log2​0.3<log2​1=0；$c = 0.3^2 = 0.09$c=0.32=0.09，在 $0$0 与 $1$1 之间。所以 $a > c > b$a>c>b，选 B。

例题 2

函数 $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} x}$f(x)=log21​​x​ 的定义域是（　　）

A. $[1, +\infty)$[1,+∞)　　B. $(0, 1]$(0,1]　　C. $(0, 1)$(0,1)　　D. $(-\infty, 1]$(−∞,1]

答案：B

解析：要使式子有意义，需要 $x > 0$x>0（真数大于 0），并且 $\log_{\frac{1}{2}} x \ge 0$log21​​x≥0（根号下非负）。因为底数 $\dfrac{1}{2}$21​ 在 $0$0 与 $1$1 之间，对数函数是减函数，$\log_{\frac{1}{2}} x \ge 0 = \log_{\frac{1}{2}} 1$log21​​x≥0=log21​​1 等价于 $x \le 1$x≤1。所以定义域是 $(0, 1]$(0,1]，选 B。A 把减函数当成了增函数，C 去掉了 $x = 1$x=1，D 漏掉了 $x > 0$x>0。

例题 3

方程 $\log_2 (x + 1) + \log_2 (x - 1) = 3$log2​(x+1)+log2​(x−1)=3 的解集是（　　）

A. $\{3\}${3}　　B. $\{-3\}${−3}　　C. $\{3, -3\}${3,−3}　　D. $\varnothing$∅

答案：A

解析：合并得 $\log_2 (x^2 - 1) = 3$log2​(x2−1)=3，所以 $x^2 - 1 = 2^3 = 8$x2−1=23=8，$x^2 = 9$x2=9，$x = \pm 3$x=±3。代回检验：真数要求 $x + 1 > 0$x+1>0 且 $x - 1 > 0$x−1>0，即 $x > 1$x>1，所以 $x = -3$x=−3 要舍去，只有 $x = 3$x=3，选 A。

本节小结

• 指数函数 $y = a^x$y=ax：定义域 $\mathbf{R}$R，值域 $(0, +\infty)$(0,+∞)，过点 $(0, 1)$(0,1)；$a > 1$a>1 增，$0 < a < 1$0<a<1 减。
• 对数函数 $y = \log_a x$y=loga​x：定义域 $(0, +\infty)$(0,+∞)，值域 $\mathbf{R}$R，过点 $(1, 0)$(1,0)；$a > 1$a>1 增，$0 < a < 1$0<a<1 减。
• 两类函数互为反函数，图像关于直线 $y = x$y=x 对称。
• 比较大小：同底用单调性，不同底用中间量 $0$0 或 $1$1；底数在 0 与 1 之间时，不等号要反过来。
• 解指数方程化同底或换元；解对数方程合并后化成指数式，并检验真数大于 0。