排列组合与二项式定理

本节导读

排列组合是解决计数问题的工具，二项式定理则是它的一个直接应用。这一章题目的特点是：公式不多，但对分析问题的要求高，同一道题常有几种看似都对的想法，只有一种是对的。选择题和填空题里，常见的是数字排列、站队排座、选人分组，以及求展开式中某一项或某一项的系数。

学完这一节，你应该能判断一道题该“分类”还是“分步”，该用排列还是组合，会算排列数和组合数，并会用通项公式求二项展开式中指定的项。

两个基本计数原理

分类加法计数原理：完成一件事有 $n$n 类办法，第 $1$1 类办法有 $m_1$m1​ 种，第 $2$2 类办法有 $m_2$m2​ 种，……，第 $n$n 类办法有 $m_n$mn​ 种，那么完成这件事共有 $m_1 + m_2 + \cdots + m_n$m1​+m2​+⋯+mn​ 种不同的办法。

分步乘法计数原理：完成一件事需要 $n$n 个步骤，做第 $1$1 步有 $m_1$m1​ 种方法，做第 $2$2 步有 $m_2$m2​ 种方法，……，做第 $n$n 步有 $m_n$mn​ 种方法，那么完成这件事共有 $m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n$m1​×m2​×⋯×mn​ 种不同的方法。

比较	分类加法	分步乘法
关键词	要么……要么……	先……再……
特点	每类办法都能独立完成这件事	每一步只完成一部分，必须全部做完
结果	各类的种数相加	各步的种数相乘

例：从甲地到乙地有 $3$3 班火车、$2$2 班汽车，任选一班去乙地，共有 $3 + 2 = 5$3+2=5 种走法。若从乙地到丙地另有 $4$4 种走法，那么从甲地经乙地到丙地，共有 $5 \times 4 = 20$5×4=20 种走法。

排列

从 $n$n 个不同的元素中取出 $m$m（$m \le n$m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 $n$n 个不同元素中取出 $m$m 个元素的一个排列。所有排列的个数叫作排列数，记作 $A_n^m$Anm​：

$$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$$Anm​=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=(n−m)!n!​

右边的乘积共有 $m$m 个因数，从 $n$n 开始逐个减 $1$1。当 $m = n$m=n 时是全排列，$A_n^n = n! = n(n-1)\cdots 2 \times 1$Ann​=n!=n(n−1)⋯2×1，并规定 $0! = 1$0!=1。

例：$A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$A53​=5×4×3=60；$A_4^4 = 4! = 24$A44​=4!=24。

排队问题有三个常用的方法，以“$5$5 个人站成一排”为例：

条件	方法	算式	结果
甲不站排头	特殊位置优先：先排排头	$4 \times A_4^4$4×A44​	$96$96
甲、乙相邻	捆绑法：把两人看成一个整体，再内部排列	$A_4^4 \times A_2^2$A44​×A22​	$48$48
甲、乙不相邻	插空法：先排其余 $3$3 人，再把甲乙插进 $4$4 个空	$A_3^3 \times A_4^2$A33​×A42​	$72$72

不相邻也可以用间接法：总数减去相邻的，$120 - 48 = 72$120−48=72。排数字时，首位不能是 $0$0，要优先处理。

组合

从 $n$n 个不同的元素中取出 $m$m 个元素并成一组（不考虑顺序），叫作一个组合，组合的个数叫作组合数，记作 $C_n^m$Cnm​：

$$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!} = \frac{n!}{m!\,(n-m)!}$$Cnm​=Amm​Anm​​=m!n(n−1)⋯(n−m+1)​=m!(n−m)!n!​

组合数有两条常用性质：

• $C_n^m = C_n^{n-m}$Cnm​=Cnn−m​（取出 $m$m 个等于留下 $n - m$n−m 个），规定 $C_n^0 = 1$Cn0​=1。
• $C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}$Cn+1m​=Cnm​+Cnm−1​（某个元素“选”或“不选”）。

例：$C_5^2 = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$C52​=2×15×4​=10；$C_6^4 = C_6^2 = 15$C64​=C62​=15。

判断用排列还是组合，看“交换位置后结果是否不同”。从 $5$5 名同学中选 $2$2 人去参加活动，是组合，$C_5^2 = 10$C52​=10 种；选 $2$2 人分别当班长和副班长，是排列，$A_5^2 = 20$A52​=20 种。

“至少”“至多”类题目，分类容易漏，可以用间接法：用总数减去不符合条件的情况。

二项式定理

对任意正整数 $n$n：

$$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \cdots + C_n^r a^{n-r}b^r + \cdots + C_n^n b^n$$(a+b)n=Cn0​an+Cn1​an−1b+⋯+Cnr​an−rbr+⋯+Cnn​bn