复数

本节导读

复数是理工农医类才有的内容，在试卷里一般是一道选择题或填空题，考法也很固定：化简一个复数式子、求模、求共轭复数、判断复数在复平面内对应的点在哪个象限，或者由「纯虚数」「相等」这类条件求参数。只要把运算规则记准，这是一块很容易拿满分的内容。

学完这一节，你应该能区分复数的实部、虚部，会做加减乘除运算，会求共轭复数与模，并能说出复数与复平面内点的对应关系。

复数的概念

虚数单位和复数

规定一个新的数 $i$i，满足 $i^2 = -1$i2=−1，叫做虚数单位。形如 $z = a + bi$z=a+bi（$a$a、$b$b 是实数）的数叫做复数，其中 $a$a 叫实部，$b$b 叫虚部。注意虚部是 $b$b，不是 $bi$bi。

条件	复数 $a + bi$a+bi 的类型
$b = 0$b=0	实数
$b \ne 0$b=0	虚数
$a = 0$a=0 且 $b \ne 0$b=0	纯虚数

两个复数相等的条件是：实部相等并且虚部相等，即 $a + bi = c + di$a+bi=c+di 当且仅当 $a = c$a=c 且 $b = d$b=d。

i 的幂

$i$i 的幂有周期，每 4 个一循环：

幂	$i^1$i1	$i^2$i2	$i^3$i3	$i^4$i4
值	$i$i	$-1$−1	$-i$−i	$1$1

所以 $i^{4k+r} = i^r$i4k+r=ir。求 $i^n$in 时，把 $n$n 除以 4 看余数即可。例如 $2025 = 4 \times 506 + 1$2025=4×506+1，所以 $i^{2025} = i$i2025=i。

复数的四则运算

复数的加、减、乘与多项式的运算一样，把 $i$i 当作字母，只是遇到 $i^2$i2 要换成 $-1$−1：

• 加减：$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；
• 乘法：$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i。

例：$(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2=2+i+3=5+i。

除法的关键是把分母变成实数：分子分母同乘以分母的共轭复数。

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}$$c+dia+bi​=(c+di)(c−di)(a+bi)(c−di)​=c2+d2(a+bi)(c−di)​

例：$\dfrac{1 + 2i}{3 - i} = \dfrac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \dfrac{3 + i + 6i + 2i^2}{9 + 1} = \dfrac{1 + 7i}{10} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{7}{10}i$3−i1+2i​=(3−i)(3+i)(1+2i)(3+i)​=9+13+i+6i+2i2​=101+7i​=101​+107​i。

共轭复数与模

复数 $z = a + bi$z=a+bi 的共轭复数记作 $\overline{z}$z，等于 $a - bi$a−bi，也就是只改变虚部的符号。复数的模是 $\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$∣z∣=a2+b2​。共轭和模之间有一个常用的关系：

$$z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = \lvert z \rvert^2$$z⋅z=a2+b2=∣z∣2

例如 $z = 3 - 4i$z=3−4i，$\overline{z} = 3 + 4i$z=3+4i，$\lvert z \rvert = \sqrt{9 + 16} = 5$∣z∣=9+16​=5，$z \cdot \overline{z} = 25$z⋅z=25。

复数的几何意义

建立直角坐标系，横轴叫实轴，纵轴叫虚轴，这样的平面叫复平面。复数 $z = a + bi$z=a+bi 与复平面内的点 $Z(a, b)$Z(a,b) 一一对应，也与向量 $\overrightarrow{OZ}$OZ 一一对应。于是：