代数运算基本功：因式分解、分式与根式化简

本节导读

主线各节都把几样运算当作现成的工具：第 3 节《不等式的解法》解一元二次不等式要先因式分解，第 6 节《二次函数》求顶点要配方，第 12 节《导数的应用》求单调区间时要「求导 $f'(x)$f′(x) 并因式分解」，第 24 节《直线与圆锥曲线》联立方程要去分母、消元。思路对了、却在这几步算错，分数照样拿不到。第 32 节《考前冲刺与应试策略》还要求结果「约分到最简」「化到最简根式，分母不含根号」。

什么时候用：课程介绍的学习路线把加餐安排在「考前一个月起穿插使用」；如果学主线时就发现自己常在化简、解方程这一步出错，也可以先把对应的那项训练做一遍，再接着按顺序往下学。用法：每项先读规则，盖住示范自己算一遍，再对答案、看常见错；两道示范都算对了，这一项就可以略过。五项走完，再做本节练习检验。

卡点清单：先查自己卡在哪

卡点	典型表现	主线里在哪用	本节
乘法公式与十字相乘	二次三项式分解不出来，只能套求根公式；分解只做了一半	第 3 节解不等式，第 12 节导数因式分解	训练一
分式的通分与约分	把加号连着的项当成因式约掉；通分后分子忘了乘缺的因式	第 3 节分式不等式，第 4 节定义域	训练二
根式化简与分母有理化	根号里留着能开方的因数，分母里留着根号	第 7 节指数运算，第 32 节最简形式	训练三
方程组的消元	加减时只乘了一边，代入时漏了括号	第 6 节待定系数，第 24 节联立	训练四
去括号、移项的符号	负号只改了第一项，移项忘了变号	第 3 节解不等式，全课	训练五

分项训练

训练一：因式分解（乘法公式、十字相乘）

规则：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$a2−b2=(a+b)(a−b)，$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$a2±2ab+b2=(a±b)2，从左往右是分解，从右往左是展开。分解的顺序：先提公因式，再看能不能用公式，最后试十字相乘；每个因式都要分到不能再分。十字相乘专门对付二次三项式：二次项系数和常数项各写成两个数的积，斜着相乘再相加，凑出一次项系数，分解就成了。

示范 1：把 $2x^3-18x$2x3−18x 分到底。先提公因式 $2x$2x，得 $2x(x^2-9)$2x(x2−9)；括号里是平方差，接着分：$2x(x+3)(x-3)$2x(x+3)(x−3)。

示范 2：分解 $6x^2+x-2$6x2+x−2。$6=2\times3$6=2×3，$-2=(-1)\times2$−2=(−1)×2，交叉相乘 $2\times2+3\times(-1)=1$2×2+3×(−1)=1，等于一次项系数，所以 $6x^2+x-2=(2x-1)(3x+2)$6x2+x−2=(2x−1)(3x+2)。展开核对一次项：$4x-3x=x$4x−3x=x。

常见错：

• ❌ 只提了公因式就停下，写成 $2x(x^2-9)$2x(x2−9)。✅ 括号里还能分，要分到底。
• ❌ 二次项系数是负数时直接凑，如 $-x^2+x+12$−x2+x+12。✅ 先提出负号：$-(x^2-x-12)=-(x-4)(x+3)$−(x2−x−12)=−(x−4)(x+3)。

训练二：分式的通分与约分

规则：分式能约掉的只有分子、分母共有的因式，所以两头都先分解再动手；动手前先把让分母等于 0 的 $x$x 记下来，约完它们照样不能取（第 4 节易错提醒）。通分要找最简公分母：分母都拆成因式，同一个因式取次数最高的那一个，全部乘起来；哪个分子的分母缺了什么因式，就给它补乘什么；前面是减号的分子，补完整体加上括号再减。

示范 1：把 $\frac{3x^2-3}{x^2+2x+1}$x2+2x+13x2−3​ 化成最简分式。分子先提 3 再用平方差，是 $3(x+1)(x-1)$3(x+1)(x−1)；分母是完全平方 $(x+1)^2$(x+1)2。两头共有的因式是 $x+1$x+1，约掉一个，剩 $\frac{3(x-1)}{x+1}$x+13(x−1)​（$x\ne-1$x=−1）。

示范 2：把 $\frac{1}{x}-\frac{x-6}{x^2-3x}$x1​−x2−3xx−6​ 合成一个分式。$x^2-3x=x(x-3)$x2−3x=x(x−3)，公分母就是它；第一个分式的分母缺 $x-3$x−3，分子跟着补乘：原式 $=\frac{(x-3)-(x-6)}{x(x-3)}=\frac{x-3-x+6}{x(x-3)}=\frac{3}{x(x-3)}$=x(x−3)(x−3)−(x−6)​=x(x−3)x−3−x+6​=x(x−3)3​（$x\ne0$x=0 且 $x\ne3$x=3）。

常见错：

• ❌ 把 $\frac{2x+4}{2x}$2x2x+4​ 约成 4。✅ $2x$2x 只是分子里的一项，先提公因式：$\frac{2(x+2)}{2x}=\frac{x+2}{x}$2x2(x+2)​=xx+2​。
• ❌ 示范 2 里第一个分式的分子没补乘 $x-3$x−3，写成 $\frac{1-(x-6)}{x(x-3)}$x(x−3)1−(x−6)​。✅ 分母缺哪个因式，分子就补乘哪个，一个都不能漏。

训练三：根式的化简与有理化

规则：根号里藏着平方因数就搬到外面，如 $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$12​=4×3​=23​；根式相乘，系数和系数乘、根号里的数和根号里的数乘，乘完再化简；一个数先平方再开平方，得到的是它的绝对值，如 $\sqrt{(-4)^2}=4$(−4)2​=4（第 7 节易错提醒）。最后查两件事：根号里没有还能开尽的因数，根号里没有分母；被开方数一样的根式才能合并。分母里的根号这样去掉：分母只有一个根式，分子分母同乘这个根式；分母是两项、带着根号，就乘一个只把中间符号反过来的式子，凑成平方差。第 13 节复数除法「分子分母同乘以分母的共轭复数」，是同一个想法。

示范 1：$\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{\frac{1}{5}}$45​−20​+51​​ 先各自化简，再合并。$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$45​=35​，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$20​=25​，$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$51​​=55​​，都是 $\sqrt{5}$5​ 的同类根式，合并得 $\left(1+\frac{1}{5}\right)\sqrt{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$(1+51​)5​=565​​。

示范 2：把 $\frac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$7​−2​10​ 的分母化成有理数。上下同乘 $\sqrt{7}+\sqrt{2}$7​+2​：$\frac{10(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{7-2}=2\sqrt{7}+2\sqrt{2}$7−210(7​+2​)​=27​+22​。

常见错：

• ❌ $2\sqrt{3}\times3\sqrt{2}$23​×32​ 算成 $6\sqrt{5}$65​ 或 $5\sqrt{6}$56​。✅ 系数乘系数、根号乘根号，得 $6\sqrt{6}$66​。
• ❌ 有理化以后停在 $\frac{10(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{5}$510(7​+2​)​。✅ 分子分母还有公因数 5，约掉才是最简（第 32 节）。