双曲线与抛物线

本节导读

双曲线和抛物线是圆锥曲线的另外两位成员。试卷里它们和椭圆一样，常常考：由方程求焦点、渐近线、准线、离心率，由条件求标准方程，利用定义求距离。抛物线的公式最少，最容易拿分；双曲线的渐近线和离心率是考点的重心。

学完这一节，你应该能区分三类曲线的方程和 $a$a、$b$b、$c$c 的关系，能熟练求双曲线的渐近线和离心率，并能写出抛物线四种标准方程的焦点和准线。

双曲线

定义和标准方程

平面内到两个定点 $F_1$F1​、$F_2$F2​ 的距离之差的绝对值等于常数 $2a$2a（$0 < 2a < 2c = \lvert F_1 F_2\rvert$0<2a<2c=∣F1​F2​∣）的点的轨迹叫做双曲线。标准方程有两种：

焦点位置	标准方程	焦点	渐近线
在 $x$x 轴上	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​−b2y2​=1	$(\pm c, 0)$(±c,0)	$y = \pm\dfrac{b}{a}x$y=±ab​x
在 $y$y 轴上	$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$a2y2​−b2x2​=1	$(0, \pm c)$(0,±c)	$y = \pm\dfrac{a}{b}x$y=±ba​x

三个量的关系是 $c^2 = a^2 + b^2$c2=a2+b2（$a > 0$a>0，$b > 0$b>0，$a$a 与 $b$b 不要求谁大谁小）。判断焦点位置的方法：看方程里哪一项是正的，正项所在的变量就是焦点所在的轴。

几何性质

以 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​−b2y2​=1 为例：顶点是 $(\pm a, 0)$(±a,0)，实轴长 $2a$2a，虚轴长 $2b$2b；图像在 $\lvert x\rvert \ge a$∣x∣≥a 的范围内，分为左右两支；离心率 $e = \dfrac{c}{a}$e=ac​，并且 $e > 1$e>1。离心率与 $\dfrac{b}{a}$ab​ 的关系是 $e = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}$e=1+a2b2​​，$\dfrac{b}{a}$ab​ 越大，渐近线越陡，开口越开阔。$a = b$a=b 的双曲线叫等轴双曲线，渐近线是 $y = \pm x$y=±x，离心率是 $\sqrt{2}$2​。

渐近线的快速求法：把标准方程右边的 $1$1 换成 $0$0，即 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$a2x2​−b2y2​=0，化简得 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$y=±ab​x。

例：双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$9x2​−16y2​=1。$a = 3$a=3，$b = 4$b=4，$c = \sqrt{9 + 16} = 5$c=9+16​=5。焦点 $(\pm 5, 0)$(±5,0)，渐近线 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$y=±34​x，离心率 $e = \dfrac{5}{3}$e=35​。

抛物线

定义和标准方程

平面内到一个定点 $F$F 和一条定直线 $l$l（$F$F 不在 $l$l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，$F$F 叫焦点，$l$l 叫准线，焦点到准线的距离是 $p$p（$p > 0$p>0）。抛物线的标准方程有四种：

标准方程	开口方向	焦点	准线
$y^2 = 2px$y2=2px	向右	$\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$(2p​,0)	$x = -\dfrac{p}{2}$x=−2p​
$y^2 = -2px$y2=−2px	向左	$\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$(−2p​,0)	$x = \dfrac{p}{2}$x=2p​
$x^2 = 2py$x2=2py	向上	$\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$(0,2p​)	$y = -\dfrac{p}{2}$y=−2p​
$x^2 = -2py$x2=−2py	向下	$\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$(0,−2p​)	$y = \dfrac{p}{2}$y=2p​

记忆方法：哪个变量是一次的，抛物线就沿那个轴开口；系数为正向正方向开口，为负向负方向开口。焦点在开口方向上，准线在焦点的另一侧。

几何性质和应用

抛物线的顶点在原点，离心率 $e = 1$e=1。由定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。例如 $y^2 = 2px$y2=2px 上的点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​)，到焦点的距离是 $\lvert PF\rvert = x_0 + \dfrac{p}{2}$∣PF∣=x0​+2p​。

例 1：$y^2 = 8x$y2=8x。$2p = 8$2p=8，$p = 4$p=4，焦点 $(2, 0)$(2,0)，准线 $x = -2$x=−2。抛物线上横坐标为 $3$3 的点到焦点的距离是 $3 + 2 = 5$3+2=5。