解答题突破（一）：立体几何的证明与计算

本节导读

立体几何是理工农医类才考的一块。第 26 节导读说，立体几何的解答题「通常先证明一个位置关系，再求一个角或一个距离」；第 27 节导读又说，解答题的最后一问也常求体积。要用的定理和公式分在本课第 25 节《空间点线面的位置关系》、第 26 节《空间角与距离》和第 27 节《柱锥球的表面积与体积》，用坐标验算时还要用到第 19 节《平面向量》的数量积。

这三节的例题都是选择题；第 32 节《考前冲刺与应试策略》讲解答题书写时，立体几何只拿线面平行举了一个例子：判定定理的三个条件「缺一个就会被扣分」。这一节不讲新定理，把证明和计算串成多小问的解答题：证明照「条件→定理→结论」写，求角、求距离照「一作、二证、三算」，再用三道先证后算的原创题逐行写出卷面。学完要做到：卷面上每个结论前面都写得出它用的定理，定理要的条件一条不少。

这一块在试卷里怎么考

按第 1 节《考试介绍与备考方法》的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院公告为准），解答题 4 道共 49 分，各题分值不同；第 1 节内容表的立体几何一行写着「选择题、解答题，考位置关系、角、距离、体积」。立体几何题占几分、哪一年出，各资料说法不一，这里不写死；证明、求角求距离、求体积几问都按步骤给分（第 32 节）。

容易丢分的有五处（第 25、26、27 节易错提醒）：证线面平行漏写「直线在平面外」；证线面垂直找的不是两条相交直线；异面直线所成角算成钝角；等体积法换了顶点，底面积和高没配套；锥体体积漏乘 $\frac{1}{3}$31​。

方法归纳

证明题照「条件→定理→结论」写：条件逐条列出，再写依据的定理，最后写结论。四种常用证明要写齐的条件如下，「出处」是主线课节：

要证	卷面上要写齐的条件	依据	出处
$a\parallel\alpha$a∥α	$a\not\subset\alpha$a⊂α，$b\subset\alpha$b⊂α，$a\parallel b$a∥b	线面平行的判定	第 25、32 节
$l\perp\alpha$l⊥α	$l\perp m$l⊥m，$l\perp n$l⊥n，$m$m、$n$n 在 $\alpha$α 内且相交	线面垂直的判定	第 25 节
$\alpha\perp\beta$α⊥β	$l\perp\beta$l⊥β，$l\subset\alpha$l⊂α	面面垂直的判定	第 25 节
$l\perp a$l⊥a	$l\perp\alpha$l⊥α，$a\subset\alpha$a⊂α	线面垂直的性质	第 25 节

找线的办法：平行线找中位线或平行四边形的对边（平行四边形的找法见第 25 节例题 2）；垂线先看三处——侧棱垂直底面，就垂直于底面里的每条线；正方形、菱形的对角线互相垂直；等腰三角形底边上的中线垂直于底边。面面垂直先在一个平面里找另一个平面的垂线，化成线面垂直。

求角、求距离照第 26 节的「一作、二证、三算」，体积先找高：

要求的量	一作	二证	三算	出处
异面直线所成的角	平移一条与另一条相交（示范见第 26 节）	说明这个角就是所求的角	余弦定理，得钝角取补角	第 26 节
线面角	从斜线上一点作平面的垂线，连出射影	写出垂线为什么垂直于平面	$\sin\theta=\frac{d}{l}$sinθ=ld​	第 26 节
二面角	棱上一点，两个面内各作棱的垂线（示范见第 26 节）	两条边都垂直于棱	放进三角形	第 26 节
点到平面的距离	垂线好作就直接作，不好作用等体积法	写明是同一个三棱锥换了顶点	$\frac{1}{3}S_1h_1=\frac{1}{3}S_2h_2$31​S1​h1​=31​S2​h2​	第 26 节
锥体体积	找底面和高	写出高垂直于底面	$V=\frac{1}{3}Sh$V=31​Sh	第 27 节

作不出角、拿不准结果时，可以用坐标在草稿上验算（第 26 节选学）：有三条两两垂直的棱，就以公共点为原点建系；空间向量的数量积与第 19 节一样是对应坐标相乘再相加，只多一项竖坐标，再套第 26 节的夹角、距离公式。第 26 节说这几个公式不是必须掌握的，卷面照「作图加计算」写也完全可以。

题型拆解

题型 1：证明线面平行

识别特征：结论是「直线 $\parallel$∥ 平面」，题目里给了一个或几个中点。

分步解法：先在平面里找一条与已知直线平行的线，再按三个条件写。比如三棱锥 $P\text{-}ABC$P-ABC 中，$M$M、$N$N 分别是 $PA$PA、$PB$PB 的中点，证 $MN\parallel$MN∥ 平面 $ABC$ABC，卷面三行：「因为 $M$M、$N$N 分别是 $PA$PA、$PB$PB 的中点，所以 $MN\parallel AB$MN∥AB；又 $MN\not\subset$MN⊂ 平面 $ABC$ABC，$AB\subset$AB⊂ 平面 $ABC$ABC；所以 $MN\parallel$MN∥ 平面 $ABC$ABC。」

常见陷阱：只写了 $MN\parallel AB$MN∥AB 就下结论，漏了「在平面外」「在平面内」两句，第 32 节说缺一个就会被扣分。

题型 2：证明线面垂直、面面垂直

识别特征：结论里有「$\perp$⊥ 平面」，或者要证两条异面直线互相垂直。

分步解法：在平面里找两条相交直线，分别证它们与已知直线垂直；面面垂直再加一句「这条直线在另一个平面内」。比如三棱锥 $P\text{-}ABC$P-ABC 中，$PA=PB$PA=PB，$CA=CB$CA=CB，$M$M 是 $AB$AB 的中点，证 $AB\perp PC$AB⊥PC：由两个等腰三角形得 $PM\perp AB$PM⊥AB，$CM\perp AB$CM⊥AB，$PM$PM 与 $CM$CM 交于点 $M$M，所以 $AB\perp$AB⊥ 平面 $PMC$PMC；又 $PC\subset$PC⊂ 平面 $PMC$PMC，所以 $AB\perp PC$AB⊥PC。顺带：$AB\subset$AB⊂ 平面 $ABC$ABC，所以平面 $ABC\perp$ABC⊥ 平面 $PMC$PMC。

常见陷阱：两条垂线找到了，卷面却不写「相交」，或者找的两条恰好互相平行（第 25 节易错提醒：无数条互相平行的直线也不够）；证面面垂直时，那条垂线不在另一个平面里。

题型 3：先证后算（角、距离、体积）

识别特征：第一问证明，后面问角、距离或体积。

分步解法：第一问证出的线面垂直，直接当后面「二证」的依据；角和距离放进直角三角形算，体积先写出高为什么垂直于底面。接着题型 2 的三棱锥说：设 $AB=2$AB=2，$PM=CM=PC=2$PM=CM=PC=2，因为 $AB\perp$AB⊥ 平面 $PMC$PMC，点 $A$A 到平面 $PMC$PMC 的距离就是 $AM=1$AM=1；平面 $PMC$PMC 把三棱锥 $P\text{-}ABC$P-ABC 切成两个以 $\triangle PMC$△PMC 为底的三棱锥，高分别是 $AM$AM、$BM$BM，所以体积 $V=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times(1+1)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$V=31​×3​×(1+1)=323​​。

常见陷阱：用余弦定理算出异面直线的角是钝角，直接写上去，没有取补角；用等体积法时底面积换成了新底面，高却还是原来那条。