任意角与弧度制、三角函数的定义

本节导读

三角部分在试卷里占的分量不小，选择题、填空题、解答题都会出现。这一节是三角的地基，主要考四件事：终边相同的角怎么写、角度与弧度怎么互化、由角的终边上一点求三角函数值、判断三角函数值的正负。后面的公式、图像、解三角形都要用到这里的内容。

学完这一节，你应该能熟练进行角度与弧度的换算，会用定义求三角函数值，能背出特殊角的函数值，并会用「一全正、二正弦、三正切、四余弦」判断符号。

任意角与弧度制

任意角和终边相同的角

角可以看作射线绕端点旋转形成的。按逆时针方向旋转得到的角叫正角，按顺时针方向旋转得到的角叫负角，没有旋转叫零角。把角的顶点放在原点、始边放在 $x$x 轴正半轴上，终边落在第几象限，就叫第几象限角；终边落在坐标轴上的角叫轴线角。

与角 $\alpha$α 终边相同的角（包括 $\alpha$α 本身）可以写成：

$$\beta = \alpha + k \cdot 360^{\circ} \quad (k \in \mathbf{Z})$$β=α+k⋅360∘(k∈Z)

例如与 $-60^{\circ}$−60∘ 终边相同的角有 $300^{\circ}$300∘、$660^{\circ}$660∘、$-420^{\circ}$−420∘ 等。

弧度制

弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 $1$1 弧度的角，记作 $1\ \text{rad}$1 rad。如果圆弧长为 $l$l，半径为 $r$r，则圆心角的弧度数是 $\alpha = \dfrac{l}{r}$α=rl​。因为圆周长是 $2\pi r$2πr，所以周角是 $2\pi$2π 弧度，由此得到最重要的换算关系：

$$180^{\circ} = \pi\ \text{rad}$$180∘=π rad

常用角的换算如下：

角度	$0^{\circ}$0∘	$30^{\circ}$30∘	$45^{\circ}$45∘	$60^{\circ}$60∘	$90^{\circ}$90∘	$120^{\circ}$120∘
弧度	$0$0	$\dfrac{\pi}{6}$6π​	$\dfrac{\pi}{4}$4π​	$\dfrac{\pi}{3}$3π​	$\dfrac{\pi}{2}$2π​	$\dfrac{2\pi}{3}$32π​

角度	$135^{\circ}$135∘	$150^{\circ}$150∘	$180^{\circ}$180∘	$270^{\circ}$270∘	$360^{\circ}$360∘
弧度	$\dfrac{3\pi}{4}$43π​	$\dfrac{5\pi}{6}$65π​	$\pi$π	$\dfrac{3\pi}{2}$23π​	$2\pi$2π

用弧度制时，弧长和扇形面积公式特别简单（$\alpha$α 是圆心角的弧度数，必须用弧度）：

$$l = \alpha r, \qquad S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} \alpha r^2$$l=αr,S=21​lr=21​αr2

例：圆心角为 $\dfrac{\pi}{3}$3π​、半径为 $6$6 的扇形，弧长 $l = \dfrac{\pi}{3} \times 6 = 2\pi$l=3π​×6=2π，面积 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\pi \times 6 = 6\pi$S=21​×2π×6=6π。

任意角的三角函数

定义和符号

设角 $\alpha$α 的终边上任意一点 $P(x, y)$P(x,y)，它到原点的距离 $r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$r=x2+y2​>0，则：

$$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \qquad \tan\alpha = \frac{y}{x}\ (x \ne 0)$$sinα=ry​,cosα=rx​,tanα=xy​ (x=0)

例：角 $\alpha$α 的终边过点 $P(-3, 4)$P(−3,4)，则 $r = 5$r=5，$\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$sinα=54​，$\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$cosα=−53​，$\tan\alpha = -\dfrac{4}{3}$tanα=−34​。

三角函数值的符号由终边所在的象限决定，口诀是「一全正、二正弦、三正切、四余弦」，意思是各象限里取正值的函数：

象限	$\sin\alpha$sinα	$\cos\alpha$cosα	$\tan\alpha$tanα
第一象限	$+$+	$+$+	$+$+
第二象限	$+$+	$-$−	$-$−
第三象限	$-$−	$-$−	$+$+
第四象限	$-$−	$+$+	$-$−

特殊角的三角函数值

下面这张表一定要背熟，它是后面所有化简求值题的基础：

角 $\alpha$α	$0$0	$\dfrac{\pi}{6}$6π​	$\dfrac{\pi}{4}$4π​	$\dfrac{\pi}{3}$3π​	$\dfrac{\pi}{2}$2π​	$\pi$π	$\dfrac{3\pi}{2}$23π​
$\sin\alpha$sinα	$0$0	$\dfrac{1}{2}$21​	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$22​​	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$23​​	$1$1	$0$0	$-1$−1
$\cos\alpha$cosα	$1$1	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$23​​	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$22​​	$\dfrac{1}{2}$21​	$0$0	$-1$−1	$0$0
$\tan\alpha$tanα	$0$0	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$33​​	$1$1	$\sqrt{3}$3​	不存在	$0$0	不存在